Ромб — ОГЭ

Ромб (Задание 17)

Общий разбор задания 17 и четырёх его фигур — в конспекте типа. Здесь берём один подвид: ромб. Его легко узнать в условии — все четыре стороны равны, а на чертеже стороны отмечены одинаковыми засечками.

Что спрашивают именно про ромб в задании 17: чаще всего площадь (через диагонали или высоту), высоту, угол или сторону. Ключ ко всему — две особенности ромба: его диагонали перпендикулярны и лежат на биссектрисах углов. Стоит увидеть диагональ или высоту — сразу появляется прямоугольный треугольник, а в нём работают теорема Пифагора, $sin,$ $t g .$ Дальше разберём это по полочкам.

Свойства, на которых всё держится

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Значит, он наследует всё от параллелограмма (противоположные углы равны; соседние углы в сумме дают $18 0^{\circ};$ диагонали делятся точкой пересечения пополам), плюс добавляет своё.

ВАЖНОЕ

Особенности ромба

Все четыре стороны равны.
Диагонали взаимно перпендикулярны: $d_{1} ⊥ d_{2} .$
Диагонали лежат на биссектрисах углов ромба (делят углы пополам).
Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

✓СОВЕТ

Ромб = четыре одинаковых прямоугольных треугольника

Диагонали разрезают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d _{1}}{2}$ и $\frac{d _{2}}{2} .$ Почти любая задача про ромб решается внутри одного такого треугольника — там и Пифагор, и $t g,$ и $sin .$

Площадь ромба — три способа

ВАЖНОЕ

Площадь ромба

Через диагонали (это твой рабочий способ на ОГЭ):

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} .

Через сторону и высоту, как у параллелограмма:

S = a \cdot h .

Через сторону и угол:

S = a^{2} sin α .

iЗАМЕЧАНИЕ

Что есть в справочных материалах КИМ

Формула $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ есть в справочном листе ОГЭ (раздел «Площади фигур»). Формула площади параллелограмма $S = ab sin γ$ тоже там — а ромб её частный случай при $a = b,$ отсюда $S = a^{2} sin α .$ Учить наизусть не обязательно, но надо мгновенно находить нужную строку и подставлять без ошибок.

Высота ромба

Высота — перпендикуляр из вершины на противоположную сторону. Она отсекает прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это сторона ромба, а острый угол — угол ромба.

ВАЖНОЕ

Высота через сторону и угол

h = a sin α,

где $a$ — сторона ромба, $α$ — его угол.

Высота ромба и прямоугольный треугольник

iЗАМЕЧАНИЕ

Про угол в справочных материалах

Определения $sin,$ $cos,$ $t g$ острого угла и значения $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2},$ $sin 4 5^{\circ},$ $sin 6 0^{\circ}$ есть в справочном листе (таблица значений). Если в условии угол $15 0^{\circ},$ работай с соседним острым: $18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ} .$

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу про ромб

1. Выпиши, что дано: сторона, угол, диагональ, высота. Отметь на чертеже; нет чертежа — начерти сам.
2. Найди прямой угол. Диагонали ромба перпендикулярны, высота даёт прямой угол — выдели прямоугольный треугольник.
3. Переведи угол в острый, если дан тупой ( $18 0^{\circ}$ минус данный).
4. Внутри треугольника примени $t g = \frac{противолежащий}{прилежащий},$ $sin$ или Пифагора — найди недостающую диагональ/высоту.
5. Собери ответ: площадь через $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ или $a \cdot h;$ для угла — не перепутай, просят меньший или больший.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ромба

В бланк — только число, без единиц. Десятичную дробь через запятую: $12, 5,$ не $12.5 .$
В формулу площади идут целые диагонали $d_{1},$ $d_{2},$ а не их половинки. Нашёл $B O$ — не забудь удвоить: $B D = 2 \cdot B O .$
Просят меньший угол — не отдавай тупой. Острый угол ромба меньше $9 0^{\circ},$ тупой больше; они в сумме $18 0^{\circ} .$
Угол между стороной и диагональю — это половина угла ромба (диагональ — биссектриса), а не весь угол.

Разбор задач

Три задачи из нашего банка — от простой к составной.

ПРИМЕР 1

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $11 4^{\circ} .$ Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

ПРИМЕР 2

Высота ромба

Сторона ромба равна $4,$ а один из углов этого ромба равен $15 0^{\circ} .$ Найдите высоту этого ромба.

ПРИМЕР 3

Площадь через диагональ и тангенс

Диагональ $A C$ ромба $A B C D$ равна $30,$ а $t g ∠ B C A = 0, 2 .$ Найдите площадь ромба.

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 17 входит в геометрический блок (задания 15–19). Помни правило ОГЭ: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Ромб — один из самых предсказуемых сюжетов блока: разбери 5–6 задач, и этот балл станет твоим гарантированно.

Отработка

Закрепи тему на задачах банка:

Коллекция по ромбу: /math/oge-math/collections/topic-romb-17-oge
Все задачи задания 17: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-17

Порешай подряд задачи на площадь, высоту и угол ромба — рука быстро запомнит, где нужна диагональ, где высота, а где просто $18 0^{\circ}$ минус угол.