Равнобедренные треугольники — ОГЭ

Равнобедренные треугольники (Задание 15)

Это подвид задания 15, где на чертеже — треугольник с двумя равными сторонами. Узнать его легко: одинаковые штрихи на боковых сторонах, или прямо в условии написано « $A B = B C$ », или сказано «равносторонний» (это когда равны все три стороны). Как только ты понял, что треугольник равнобедренный, у тебя сразу появляется бесплатное дополнительное знание — равные углы при основании и совпадение высоты, медианы и биссектрисы. Именно на этом и строятся все задачи топика.

Чаще всего просят одно из двух: найти угол (дан угол при вершине или при основании — ищут другой) или найти длину (в равностороннем треугольнике по стороне ищут высоту/медиану/биссектрису, или наоборот). Считать почти всегда — в одно-два действия.

iЗАМЕЧАНИЕ

Что тебе даёт равнобедренность

Равнобедренный — это треугольник, у которого две стороны (боковые) равны. Третья сторона называется основанием. Как только ты это увидел, ты бесплатно получаешь два факта: углы при основании равны, а линия из вершины (между равными сторонами) работает сразу как высота, медиана и биссектриса.

Углы равнобедренного треугольника

ВАЖНОЕ

Углы при основании равны

Если $A B = B C,$ то треугольник равнобедренный с основанием $A C,$ и углы при этом основании равны:

∠ B A C = ∠ B C A

Равнобедренный треугольник с равными боковыми сторонами и равными углами при основании

Дальше в дело идёт сумма углов треугольника ( $18 0^{\circ}$ ). Комбинируя её с равенством углов при основании, ты найдёшь любой недостающий угол:

дан угол при вершине $β$ — тогда каждый угол при основании равен $\frac{18 0 ^{\circ} - β}{2};$
дан угол при основании $α$ — тогда второй угол при основании тоже $α,$ а угол при вершине равен $18 0^{\circ} - 2 α .$

Равносторонний треугольник

Равносторонний (его же называют правильным) — частный случай равнобедренного, где равны все три стороны. Значит, и все три угла равны, а раз в сумме они дают $18 0^{\circ},$ то каждый равен $6 0^{\circ} .$

Его любят в задании 15, потому что по одной стороне $a$ считается всё остальное.

ВАЖНОЕ

Высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к любой стороне, — это один и тот же отрезок, и его длина равна

h = \frac{a 3}{2}

Равносторонний треугольник, где высота, медиана и биссектриса совпадают в один отрезок

ВАЖНОЕ

Радиусы вписанной и описанной окружностей, площадь

Для равностороннего треугольника со стороной $a :$

r = \frac{a 3}{6}, R = \frac{a 3}{3}, S = \frac{a ^{2} 3}{4}

где $r$ — радиус вписанной окружности, $R$ — описанной.

iЗАМЕЧАНИЕ

Эти формулы есть в справочных материалах

Формулы $h = \frac{a 3}{2},$ $r = \frac{a 3}{6},$ $R = \frac{a 3}{3},$ $S = \frac{a ^{2} 3}{4}$ и теорема Пифагора будут в справочном листе, который выдают на экзамене (раздел «Правильный треугольник»). Учить наизусть не обязательно — но надо мгновенно находить нужную строку и понимать, где в ней $a,$ а где $h$ или $r .$

✓Если формула вылетела из головы

Любую длину в равностороннем треугольнике можно добыть без формул: проведи высоту, она делит основание пополам и даёт прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и катетом $\frac{a}{2} .$ Дальше — теорема Пифагора. Это тот же ответ, что и по формуле, просто чуть длиннее.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу про равнобедренный треугольник

1. Найди равные элементы. Прочитай, какие стороны равны (штрихи на чертеже, запись $A B = B C,$ слово «равносторонний»). Отметь их у себя.
2. Определи, что спрашивают — угол или длину.
3. Если угол — используй равенство углов при основании плюс сумму $18 0^{\circ} .$ Дан угол при вершине — дели «остаток» пополам; дан угол при основании — удвой и вычти из $18 0^{\circ} .$
4. Если длина в равностороннем — бери готовую формулу ( $h = \frac{a 3}{2},$ $r,$ $R,$ $S$ ) или проводи высоту и применяй теорему Пифагора. Помни: высота = медиана = биссектриса, все они равны $\frac{a 3}{2} .$
5. Запиши ответ в нужном формате. Углы — в градусах, длины — числом.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Формат ответа. В бланк — только число, без единиц и без знака градуса: « $36$ », а не « $3 6^{\circ}$ ».
Не путай угол при вершине с углом при основании. Пополам делят именно «остаток» после вычитания угла при вершине; сам угол при вершине пополам не делят.
Высота, медиана и биссектриса совпадают только в равностороннем (и только к основанию в равнобедренном). В равнобедренном треугольнике это верно лишь для линии из вершины между равными сторонами — не для линий из других вершин.
$3$ в ответе почти всегда сокращается. В этих задачах $a$ дают кратной $3$ (например, $143$ ), и после умножения на $3$ корень исчезает — ответ получается целым. Если у тебя в ответе остался корень, перепроверь.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и геометрические задания № 23–25 второй части). Задание 15 — самый простой способ взять геометрический балл, поэтому его пропускать нельзя.

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от простого угла к равностороннему треугольнику.

ПРИМЕР 1

Угол при основании

В треугольнике $A B C$ известно, что $A B = B C,$ $∠ A B C = 10 8^{\circ} .$ Найдите угол $B C A .$ Ответ дайте в градусах.

Равнобедренный треугольник ABC с углом 108 градусов при вершине B

ПРИМЕР 2

Биссектриса равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $103 .$ Найдите биссектрису этого треугольника.

Равносторонний треугольник с биссектрисой из вершины к основанию

ПРИМЕР 3

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $203 .$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Равносторонний треугольник со вписанной окружностью

Что запомнить

Равнобедренный — две боковые стороны равны, углы при основании равны. Дан угол при вершине $β$ — угол при основании $\frac{18 0 ^{\circ} - β}{2};$ дан угол при основании $α$ — угол при вершине $18 0^{\circ} - 2 α .$
Высота = медиана = биссектриса для линии из вершины между равными сторонами (в равностороннем — из любой вершины).
Равносторонний: все стороны равны, все углы $6 0^{\circ};$ $h = \frac{a 3}{2},$ $r = \frac{a 3}{6},$ $R = \frac{a 3}{3},$ $S = \frac{a ^{2} 3}{4}$ — все в справочном листе.
Формат: число без единиц; $3$ в таких задачах обычно сокращается — ответ целый.

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задание 15.

Именно этот подвид — в коллекции: Равнобедренные треугольники.