Растяжения и сдвиги — ОГЭ

Растяжения и сдвиги (Задание 11)

Это самый «алгебраический» подвид задания 11. В обычном варианте задания тебе достаточно узнать график в лицо: прямая, парабола, гипербола — и дело сделано. А здесь все три картинки — из одного семейства (три прямые или три параболы), и различаются они только тем, как коэффициент растянул, сжал или сдвинул базовый график. Часто формулу тебе даже не показывают: спрашивают напрямую про знаки коэффициентов $k$ и $b$ (у прямой) или $a$ и $c$ (у параболы).

Значит, узнавания формы уже не хватит. Нужно понимать, за что отвечает каждый коэффициент: какой из них крутит наклон, какой поднимает-опускает график, какой разворачивает ветви. Разберёмся по двум главным семействам — прямая и парабола, — потому что именно на них строится весь этот подвид.

Что делает каждый коэффициент

Договоримся о словах. Растяжение/сжатие — коэффициент меняет крутизну прямой или ширину параболы. Сдвиг — свободный член поднимает или опускает график целиком.

ВАЖНОЕ

Прямая: наклон и сдвиг

y = k x + b

$k$ — угловой коэффициент (наклон). Знак задаёт направление: $k > 0$ — прямая возрастает, $k < 0$ — убывает. Величина $∣ k ∣$ растягивает: чем больше $∣ k ∣,$ тем круче прямая.
$b$ — сдвиг по вертикали. Это ордината точки пересечения с осью $O y :$ при $x = 0$ получаем $y = b .$ $b > 0$ — прямая пересекает $O y$ выше нуля, $b < 0$ — ниже.

ВАЖНОЕ

Парабола: разворот, ширина и сдвиг

y = a x^{2} + b x + c

$a$ — старший коэффициент. Знак разворачивает ветви: $a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз. Величина $∣ a ∣$ растягивает-сжимает по вертикали: чем больше $∣ a ∣,$ тем уже парабола.
$c$ — сдвиг по вертикали: это значение $y$ при $x = 0,$ то есть точка пересечения с осью $O y .$ $c > 0$ — выше нуля, $c < 0$ — ниже.
Абсцисса вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ показывает горизонтальный сдвиг параболы влево-вправо.

✓Главный приём

Свободный член читается на оси $O y$ , а не по вершине. Подставь $x = 0 :$ у прямой останется $y = b,$ у параболы $y = c .$ Куда график пересекает вертикальную ось — таков и знак свободного члена. Это работает всегда, независимо от наклона и от того, куда уехала вершина.

Алгоритм: читаем коэффициенты по графику

АЛГОРИТМ

Знаки коэффициентов за три шага

1. Старший коэффициент — по направлению. Прямая возрастает или парабола ветвями вверх — коэффициент ( $k$ или $a$ ) положительный. Убывает / ветви вниз — отрицательный.
2. Свободный член — по оси $O y .$ Смотри, где график пересекает вертикальную ось. Выше начала координат — $b > 0$ (или $c > 0$ ); ниже — $b < 0$ (или $c < 0$ ); ровно в нуле — свободный член равен $0 .$
3. Если знаки совпали — различай по крутизне. Две прямые одного знака: круче та, у которой $∣ k ∣$ больше. Две параболы: уже та, у которой $∣ a ∣$ больше.

Типичные ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Свободный член — это

y (0),

а не «где вершина»

Частая ошибка у параболы: определять знак $c$ по тому, выше или ниже оси $O x$ лежит вершина. Знак $c$ читается только по точке пересечения с осью $O y$ (значение при $x = 0$ ). Вершина может быть под осью $O x,$ а парабола при этом пересекать $O y$ выше нуля — тогда $c > 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Направление ветвей — только знак

a,

не «где нарисована вершина»

Куда смотрят ветви параболы, решает только знак старшего коэффициента $a .$ $a > 0$ — всегда вверх, $a < 0$ — всегда вниз, где бы ни стояла вершина. По положению вершины направление ветвей не определяют.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ — три цифры подряд в порядке букв А, Б, В (например, 213), без пробелов, запятых и знаков. Сначала номер для А, потом для Б, потом для В — не переставляй. Задание оценивается целиком: одна перепутанная цифра — весь балл потерян.

Разбор задач

ПРИМЕР 1

Знаки

k

b

у прямой

На рисунках изображены графики функций вида $y = k x + b .$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b .$

ГРАФИКИ

Три прямые: возрастающая ниже нуля, убывающая ниже нуля, убывающая выше нуля

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) $k < 0,$ $b < 0$ 2) $k > 0,$ $b < 0$ 3) $k < 0,$ $b > 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 2

Знаки

a

c

у параболы

На рисунках изображены графики функций вида $y = a x^{2} + b x + c .$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c .$

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) $a > 0,$ $c < 0$ 2) $a < 0,$ $c > 0$ 3) $a > 0,$ $c > 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 3

От знаков коэффициентов к графикам

На рисунках изображены графики функций вида $y = k x + b .$ Установите соответствие между знаками коэффициентов $k$ и $b$ и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ


А)	$k > 0,$ $b > 0$	Б)	$k < 0,$ $b > 0$	В)	$k < 0,$ $b < 0$

ГРАФИКИ

Три прямые: убывающая выше нуля, круто убывающая ниже нуля, возрастающая выше нуля

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Что запомнить

Старший коэффициент = направление + крутизна. Знак $k$ / $a$ — вверх или вниз; величина $∣ k ∣$ / $∣ a ∣$ — насколько круто/узко.
Свободный член = вертикальный сдвиг. Читай его на оси $O y :$ $b$ или $c$ — это значение при $x = 0,$ не по вершине.
Совпали знаки — сравнивай крутизну ( $∣ k ∣$ ) или ширину ( $∣ a ∣$ ).
Ответ — три цифры в порядке А, Б, В, без пробелов.

Отработка

Закрепи навык на задачах банка: все задачи типа 11.

Подборка по теме: Растяжения и сдвиги.