Расстояние между точками и от точки до прямой (Задание 18)
Это один из самых частых подвидов задания 18: тебе дают клетчатую бумагу (клетка 1×1) и просят найти расстояние. Расстояние бывает двух видов, и их важно не путать. Первое — расстояние между двумя точками: это просто длина отрезка, который их соединяет. Второе — расстояние от точки до прямой: это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую (самый короткий путь, а не «наискосок»).
В конспекте по всему заданию 18 мы уже разобрали общий принцип: клетка — это готовая линейка. Здесь идём глубже именно в расстояния: как быстро распознавать пифагоровы тройки, когда ответ остаётся под корнем, и что делать, если прямая идёт не по линиям сетки, а наискосок.
Расстояние между двумя точками
Обе точки почти всегда сидят в узлах сетки. Смотри, как они расположены друг относительно друга.
- Точки на одной горизонтали или вертикали — отрезок идёт вдоль сетки. Просто посчитай клетки между ними, и это уже ответ, никакой формулы не нужно.
- Точки «наискосок» — соедини их и дострой до прямоугольного треугольника: через одну точку проведи горизонталь, через другую — вертикаль. Отрезок станет гипотенузой, а катеты пойдут по клеткам.
ВАЖНОЕ
Теорема Пифагора
d=a2+b2a и b — катеты (горизонтальное и вертикальное смещение между точками, считаем по клеткам), d — искомое расстояние (гипотенуза). Эта формула есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но подставлять в неё надо уметь мгновенно.
✓Пифагоровы тройки
Составители любят «красивые» тройки, где гипотенуза выходит целой. Выучи их — тогда ответ виден без вычислений:
3−4−5,6−8−10,5−12−13,8−15−17,9−12−15.Увидел катеты 6 и 8 — сразу пиши 10.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, а не длина любого наклонного отрезка до неё. Как считать, зависит от того, как расположена прямая.
- Прямая идёт по линии сетки (горизонтальна или вертикальна). Тогда перпендикуляр к ней тоже пойдёт по сетке — просто посчитай клетки от точки до прямой.
- Прямая идёт наискосок. Перпендикуляр по клеткам уже не посчитать. Здесь выручает приём через площадь: строим треугольник, у которого прямая — основание, а искомый перпендикуляр — высота.
ВАЖНОЕ
Высота через площадь
h=a2Sa — длина отрезка прямой, взятого за основание (находим Пифагором), S — площадь треугольника с этим основанием и вершиной в нашей точке (находим по клеткам: разбиением или достройкой). h — искомое расстояние.
Алгоритм
Как найти расстояние
1. Пойми, что ищут: расстояние между двумя точками или от точки до прямой (длину перпендикуляра).
2. Отметь узлы сетки — опорные точки для подсчёта клеток.
3. Если отрезок идёт вдоль сетки (по горизонтали или вертикали) — посчитай клетки, это и есть ответ.
4. Если наискосок — дострой прямоугольный треугольник, катеты возьми по клеткам, расстояние найди Пифагором.
5. Для точки до наклонной прямой — найди площадь треугольника по клеткам и основание Пифагором, затем h=a2S.
6. Запиши ответ в нужном формате: целое число или короткую десятичную дробь.
Типовые ловушки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
На чём теряют балл
- Расстояние до прямой — это перпендикуляр, а не наклонный отрезок до неё и не расстояние до ближайшей точки «на глаз». Бери именно длину перпендикуляра.
- Не путай катеты с гипотенузой. По клеткам считаются только катеты (горизонталь и вертикаль). Само наклонное расстояние — это гипотенуза, её всегда находят через Пифагора, а не «по клеткам вдоль наклонной».
- Ответ под корнем. Если тройка «некрасивая», расстояние остаётся иррациональным: 13, 25. Не округляй самовольно — записывай так, как требует бланк задания.
- Считай клетки, а не прикидывай. Наклонные линии зрительно обманчивы: длину всегда сверяй по узлам сетки.
- Формат ответа. Число без единиц измерения; десятичную дробь пиши через запятую: 2,5, а не 2.5.
iЗАМЕЧАНИЕ
Зачем это на экзамене: порог по геометрии
Задание 18 — геометрическое и стоит в первой части, где балл берётся легко. Помни правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Клетчатые задачи 15–19 — самый доступный способ закрыть этот порог, поэтому расстояния здесь терять нельзя.
Примеры решения задач
Три задачи от простой к составной: сначала диагональ через тройку, потом ещё одна тройка, в конце — случай, где Пифагор вообще не нужен.
ПРИМЕР 1
Расстояние между точками
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
ПРИМЕР 2
Расстояние между точками
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
ПРИМЕР 3
Отрезок вдоль сетки
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Что запомнить
- Расстояние между точками: вдоль сетки — считай клетки; наискосок — достраивай прямоугольный треугольник и находи гипотенузу Пифагором.
- Расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр. По линии сетки — считай клетки; наклонная прямая — через площадь: h=a2S.
- Теорема Пифагора есть в справочных материалах КИМ; формулы координат — нет, но она из Пифагора выводится.
- Пифагоровы тройки (3−4−5, 6−8−10, 5−12−13) дают ответ мгновенно.
- Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».
Отработка
Закрепи навык на всех задачах этого типа: задание 18 на квадратной решётке.
Прицельно по этой подтеме: Расстояние между точками и от точки до прямой.