Путешествия — ОГЭ

Путешествия (Задание 5)

Это подвид задания 5, где вместо прайс-листа или плана квартиры перед тобой карта или схема местности: деревни, турбазы, мосты, дороги и тропы. Данные приходят двумя способами — либо прямо в таблице (длины участков в километрах), либо через масштаб («1 см на плане соответствует 2 км»). Твоя работа — вытащить нужные расстояния и что-то с ними сделать: сложить, сравнить два маршрута или найти прямой путь «через поле».

Главное отличие от других сюжетов задания 5: тут почти всегда работают с расстояниями, а не с деньгами. И очень часто прячется прямоугольный треугольник — если две дороги перпендикулярны (одна на восток, другая на север), то прямой путь между их концами считается по теореме Пифагора. Узнать этот треугольник в условии — половина решения.

Масштаб: из сантиметров в километры

Если длину участка не дали числом, а просят снять с плана линейкой, работает масштаб. Масштаб «1 см — $k$ км» значит: каждый сантиметр на бумаге — это $k$ километров на земле.

ВАЖНОЕ

Перевод по масштабу

Реальное расстояние $=$ (длина на плане в см) $\times$ (масштаб в км за 1 см):

S_{реальное} = ℓ_{план} \cdot k

Например, при масштабе «1 см — 2 км» отрезок $3$ см на плане — это $3 \cdot 2 = 6$ км на местности.

✓Подсказка

Масштаб можно применять и наоборот: если реальное расстояние $10$ км, а масштаб «1 см — 2 км», то на плане это $10 : 2 = 5$ см. Деление и умножение — не перепутай, в какую сторону переводишь.

Прямой путь через теорему Пифагора

Самый частый вопрос топика: даны два перпендикулярных участка (например, дорога на восток и тропа на север), и спрашивают про прямой путь между их концами или на сколько он короче пути по дорогам.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c :$

c = a^{2} + b^{2}

Перпендикулярные дороги — это катеты, прямой путь «через поле» — гипотенуза.

Сравнение пути по дорогам и прямого пути

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула есть в справочных материалах

Теорема Пифагора напечатана в справочных материалах, которые выдают на экзамене, — забыть её нельзя. Но лист не подскажет, что перед тобой прямоугольный треугольник: распознать перпендикулярные дороги ты должен сам. Ключевые слова — «на восток» и «на север», «перпендикулярны», прямой угол на схеме.

✓Пифагоровы тройки

Катеты в этих задачах почти всегда подобраны так, чтобы гипотенуза вышла целой. Запомни тройки — считать будешь мгновенно: $3, 4, 5;$ $6, 8, 10;$ $5, 12, 13;$ $8, 15, 17;$ $9, 12, 15 .$

Как решать задачу про маршрут

АЛГОРИТМ

1. Разберись в схеме. Найди на карте все названные точки и участки. Отметь, какие участки перпендикулярны (обычно «на восток» + «на север»).
2. Собери длины. Возьми их из таблицы напрямую или сними с плана линейкой и переведи по масштабу в километры.
3. Пойми, что спрашивают. «Найти прямой путь», «на сколько короче», «во сколько раз», «сколько времени в пути» — вопросы разные.
4. Посчитай. Прямой путь — Пифагор; путь по дорогам — сумма участков; «на сколько короче» — их разность; время — расстояние делить на скорость.
5. Запиши ответ по формату. В бланк — только число, без «км» и без пробелов.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки топика

Не путай прямой путь и путь по дорогам. Гипотенуза (прямой путь) всегда короче суммы катетов. Если у тебя вышло наоборот — ошибка.
«На сколько короче» — это разность. Сначала найди оба пути, потом вычти меньший из большего. Частая потеря балла — записывают сам прямой путь вместо разности.
Масштаб — обязательный шаг. Если расстояние снимаешь с плана, не забудь домножить на масштаб. Число в сантиметрах в ответ не идёт.
Единицы в ответ не пишут. Получилось « $4$ км» — в бланк идёт 4.
Десятичная дробь — через запятую: пиши $2, 5,$ а не $2.5 .$

Примеры из банка

ПРИМЕР 1

Прямая тропа через поле

Группа туристов идёт от деревни Берёзовки к турбазе «Светлой». Грунтовая дорога Берёзовка — мост длиной 6 км идёт строго на восток, а тропа мост — турбаза длиной 8 км идёт строго на север, поэтому эти участки перпендикулярны. Через поле напрямую от Берёзовки до турбазы проложена прямая тропа. На сколько километров прямая тропа короче пути от Берёзовки до турбазы через мост?

ПРИМЕР 2

Где закупиться по дороге

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка.

Наименование продукта	д. Масловка	с. Захарово	д. Вёсенка	д. Полянка
Хлеб (1 батон)	29	28	31	22
Сыр «Российский» (1 кг)	250	270	290	280
Картофель (1 кг)	35	25	32	24

Саша с дедушкой хотят купить 3 батона хлеба, 2 кг сыра «Российский» и 5 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Что запомнить

«Путешествия» — это расстояния на карте: собрать длины (из таблицы или по масштабу) и посчитать.
Масштаб «1 см — $k$ км»: длину с плана умножай на $k .$ Число в сантиметрах в ответ не идёт.
Перпендикулярные дороги (восток $+$ север) → прямоугольный треугольник → прямой путь по Пифагору (эта формула есть в справочных материалах).
Прямой путь всегда короче пути по дорогам; «на сколько короче» — это их разность.
В бланк — только число, без «км», десятичные — через запятую.

Отработка

Прорешай задачи этого сюжета — тематическая подборка: Путешествия.

Больше практики по всему заданию 5: все задачи типа 5.