Путешествия — ОГЭ

Путешествия (Задание 4)

Из трёх сюжетных линий задания 4 «Путешествия» — самая «географическая». Перед тобой карта или план местности с масштабом: деревни, турбаза, мост, озеро, тропинки между ними. И четвёртый вопрос почти всегда про одно из двух: сколько стоит доехать (группе, туда-обратно, автобусом или такси) или какое расстояние пройти/проехать (длина маршрута по участкам, расстояние «по прямой» между точками).

Отдельной новой теории тут нет — всё держится на арифметике, масштабе и одной геометрической формуле (теорема Пифагора для расстояния по прямой). Главный навык — аккуратно прочитать план и таблицу участков и не перепутать «по дороге» с «по прямой». Ответ всегда — число (рубли, километры, минуты), которое вписывают в бланк без единиц.

Масштаб: с плана — на местность

На плане расстояния маленькие, а на местности — настоящие. Связывает их масштаб.

ВАЖНОЕ

Перевод по масштабу

реальное расстояние = длина на плане \times масштаб

Если написано «в 1 клетке — 2 км», то маршрут в 5 клеток — это $5 \cdot 2 = 10$ км. Если «1 см — 500 м», измеряешь линейкой сантиметры и умножаешь. Этой формулы нет в справочных материалах КИМ — но она простая, держи её в голове.

Расстояние по прямой

«По дороге» и «по прямой» — разные вещи. По дороге ты идёшь по участкам маршрута, а «по прямой» — это отрезок напрямик, кратчайший путь. Если два участка маршрута идут под прямым углом (одна дорога на восток, другая на север — как на плане выше), то расстояние по прямой — это гипотенуза прямоугольного треугольника.

ВАЖНОЕ

Расстояние по прямой (теорема Пифагора)

d = a^{2} + b^{2}

Здесь $a$ и $b$ — длины двух перпендикулярных участков, $d$ — расстояние «напрямик». Теорема Пифагора есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но пользоваться ей надо уверенно.

Например, на плане выше от Берёзовки до турбазы по дороге $6 + 8 = 14$ км, а по прямой всего

d = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 км .

Стоимость проезда и время

Денежные вопросы «Путешествий» — это сравнение двух способов доехать. Считаешь каждый вариант полностью и выбираешь дешёвый.

iЗАМЕЧАНИЕ

Два типовых способа оплаты

С человека (билет, проезд): умножай цену билета на число людей в группе. Автобус за $90$ руб. на $6$ человек — это $90 \cdot 6 .$
За всю группу / за километр: такси часто берёт фиксированную цену за километр со всей группы сразу, число людей уже не важно — важна длина пути.

✓СОВЕТ

Время в пути

Если спрашивают время, работает $t = \frac{s}{v}$ (расстояние делить на скорость). Следи за единицами: скорость в км/ч — время получится в часах; чтобы перевести в минуты, умножь на $60 .$ Этой формулы в справочных материалах нет, но она базовая.

Алгоритм решения

Как решать «Путешествия»

1. Прочитай именно четвёртый вопрос — он внизу, под планом и таблицей участков. Не реши по инерции вопрос про длину забора или площадь.
2. Определи, что нужно: стоимость проезда, длину маршрута, расстояние по прямой или время.
3. Выпиши только нужные числа из таблицы участков и условия. Лишних данных в плане всегда много.
4. Если по масштабу — переведи клетки/сантиметры в реальные километры. Если по прямой — найди два перпендикулярных участка и примени теорему Пифагора.
5. Если про деньги — посчитай каждый способ до конца (билет × людей, цена × километров) и сравни.
6. Запиши число в нужных единицах, без единиц измерения в бланке. Просят округлить — округли как сказано.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«По дороге» вместо «по прямой»

Если в вопросе слова «напрямую», «по прямой», «кратчайшее расстояние» — это Пифагор ( $a^{2} + b^{2}$ ), а не сумма участков. И наоборот: «пройти по тропе/дороге» — это сумма длин участков, никакого корня. Перепутать эти два — самая частая ошибка топика.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Цена с человека или за группу

Не умножай на число людей то, что берётся со всей группы сразу. Такси « $40$ руб. за км» — это за всю группу, умножать на $6$ человек нельзя. А билет « $90$ руб.» — с каждого, тут на людей умножать обязательно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Единицы и запятая в бланке

Ответ пишут числом без единиц: не « $540$ руб.», а 540; не « $10$ км», а 10. Дробный ответ в бланк ОГЭ пишут через запятую (10,5), а не точку. Пробелов быть не должно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответили не на тот вопрос

В модуле пять вопросов к одной карте. Легко решить вопрос 1 («длина маршрута») вместо вопроса 4 («сколько заплатит группа»). Перед тем как записать ответ, вернись к формулировке именно четвёртого вопроса.

Разбор задач из банка

ПРИМЕР 1

Автобус или такси

Туристический поход «Заозёрье»

Группа из 6 туристов планирует двухдневный поход по окрестностям деревни Берёзовка. На плане местности (масштаб: 1 см соответствует 2 км) отмечены деревня Берёзовка, деревня Сосновка, турбаза «Светлая», мост через реку Быстрянку и озеро Светлое.

От Берёзовки на восток идёт прямая грунтовая дорога к мосту. От моста строго на север вдоль берега озера ведёт тропа к турбазе «Светлой». От турбазы лесная тропа выходит к деревне Сосновка. Длины участков пешего маршрута приведены в таблице.

Участок маршрута	Тип пути	Длина, км
Берёзовка — мост	грунтовая дорога	6
мост — турбаза «Светлая»	тропа вдоль озера	8
турбаза «Светлая» — Сосновка	лесная тропа	5

Обратно из Сосновки в Берёзовку туристы возвращаются по шоссе длиной 18 км.

Вопрос 4. Обратный путь из Сосновки в Берёзовку по шоссе (18 км) группа из 6 человек может проехать двумя способами. Первый: рейсовым автобусом — билет стоит 90 рублей с человека. Второй: заказать микроавтобус-такси — 40 рублей за каждый километр пути со всей группы. Сколько рублей заплатит группа, выбрав более дешёвый способ?

Второй пример — на расстояние «по прямой». Задача взята из соседнего сюжета (план участка), но приём в ней ровно тот же, что и на карте маршрута: диагональ через теорему Пифагора.

ПРИМЕР 2

Расстояние по прямой

Семья Новиковых купила прямоугольный дачный участок длиной 40 м и шириной 25 м. В одном из углов участка находится колодец. Хозяин хочет проложить прямой поливочный шланг от колодца до противоположного угла участка (по диагонали). Найдите наименьшую длину шланга. Ответ округлите до целого числа метров.

Отработка

Реши десяток задач подряд — глаз быстро научится отличать «по дороге» от «по прямой» и не путать цену с человека и за группу.

Подборка «Путешествия»: /math/oge-math/collections/topic-puteshestviya-4-oge
Все задачи типа 4 в банке: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-4