Путешествия — ОГЭ

Путешествия (Задание 1)

Внутри задания 1 «Путешествия» — это сюжеты про походы, поездки и планы местности. Тебе дают карту или схему маршрута, таблицу с длинами участков пути и подписанный масштаб («1 см соответствует стольким-то километрам»). Первый вопрос обычно просит либо перевести расстояние с плана в реальные километры, либо сложить длины участков по таблице, либо найти прямое расстояние между двумя точками.

От других сюжетов задания 1 (квартиры-участки, шины-печки) этот подвид отличает одна вещь: почти всегда в деле масштаб и единицы длины (см, м, км). Здесь легче всего потерять балл не на арифметике, а на том, что забыл умножить на масштаб или не перевёл сантиметры в километры. Разберём приёмы, которые закрывают почти все варианты.

План местности с маршрутом и масштабной линейкой

Приёмы этого топика

ВАЖНОЕ

Масштаб плана

Если масштаб плана «1 см — $k$ км», то реальное расстояние на местности равно длине на плане, умноженной на $k :$

L_{на местности} = L_{на плане} \cdot k .

Обратно: чтобы узнать длину отрезка на плане, реальное расстояние делят на $k .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Масштаба нет в справочных материалах

Формулы масштаба в выданном на экзамене листе «Справочные материалы» нет — это не формула, а простое правило пропорции. Держи его в голове: «на плане меньше, на местности больше — значит умножаем на масштаб».

ВАЖНОЕ

Прямое расстояние — теорема Пифагора

Если участки маршрута идут под прямым углом друг к другу (например, сначала строго на восток на $a$ км, потом строго на север на $b$ км), то расстояние по прямой между началом и концом — это гипотенуза прямоугольного треугольника:

d = a^{2} + b^{2} .

Ломаный маршрут «восток, затем север» и прямая между концами

iЗАМЕЧАНИЕ

А вот теорема Пифагора в справочных материалах есть

Теорема Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ включена в справочный лист ОГЭ. Наизусть учить не обязательно, но уметь быстро найти её в листе и применить — обязательно.

Как решать

АЛГОРИТМ

1. Прочитай только первый вопрос. Пойми, что нужно: перевести с плана в километры, сложить участки маршрута или найти прямое расстояние.
2. Найди числа. Масштаб — в подписи под планом; длины участков — в таблице (та самая строка); длину отрезка на плане — измеренную в сантиметрах величину из условия.
3. Выбери действие. Масштаб — умножь на $k .$ Длина маршрута — сложи участки. Прямое расстояние при повороте на $9 0^{\circ}$ — Пифагор.
4. Проверь единицы. На плане сантиметры, а ответ просят в километрах — перевод уже «зашит» в масштаб, отдельно ничего не переводи. Если в условии метры и километры смешаны — приведи к одним ( $1 км = 1000 м$ ).
5. Запиши ответ числом в нужном формате (см. ловушки).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Формат ответа. Ответ — число без единиц: пишешь 13, а не 13 км. Десятичную дробь — через запятую: 12{,}5, не 12.5.
Забыл масштаб. Самая частая ошибка топика — записать длину с плана ( $6, 5$ ) как ответ, не умножив на масштаб. Всегда спрашивай себя: «это уже километры или ещё сантиметры плана?»
Путь vs прямая. Не складывай участки, если спрашивают расстояние по прямой, и наоборот.
Тот ли отрезок. В сюжете много расстояний (туда, обратно, между разными точками). Возьми именно то, о котором вопрос.

Разбор примеров

Все три примера — по одному сюжету «Туристический поход Заозёрье» из нашего банка: от Берёзовки на восток к мосту $6$ км, от моста на север к турбазе $8$ км, от турбазы к Сосновке $5$ км; обратно из Сосновки в Берёзовку по шоссе $18$ км.

ПРИМЕР 1

Масштаб плана

На плане местности масштаб таков: $1$ см соответствует $2$ км. Расстояние по прямой между Берёзовкой и Сосновкой на плане равно $6, 5$ см. Пользуясь масштабом плана, найдите это расстояние на местности. Ответ дайте в километрах.

ПРИМЕР 2

Длина пешего маршрута

Пеший маршрут состоит из трёх участков: Берёзовка — мост ( $6$ км), мост — турбаза «Светлая» ( $8$ км), турбаза — Сосновка ( $5$ км). Найдите длину всего пешего маршрута от Берёзовки до Сосновки. Ответ дайте в километрах.

ПРИМЕР 3

Прямое расстояние

От Берёзовки грунтовая дорога идёт строго на восток к мосту — $6$ км. От моста тропа идёт строго на север к турбазе «Светлая» — $8$ км. Найдите расстояние по прямой от Берёзовки до турбазы. Ответ дайте в километрах.

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Задания 1-5 — самые дешёвые баллы варианта, решай их первыми на свежую голову ( $1$ - $2$ минуты на вопрос).
Прикидка: прямое расстояние всегда меньше пути. Получил «по прямой» больше суммы участков — где-то ошибка.
Перед записью проверь запятую (не точку) и что ответ без единиц измерения.

Отработка

Закрепи навык на живых задачах банка:

Все задачи типа: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-1
Коллекция топика «Путешествия»: /math/oge-math/collections/topic-puteshestviya-1-oge