Прямоугольный треугольник — ОГЭ

Прямоугольный треугольник (Задание 15)

Прямоугольный треугольник — самый частый гость задания 15. Общий обзор задания и остальные его подтемы (углы, равнобедренный, общий треугольник) разобраны в конспекте задания 15; здесь копаем именно этот подвид глубже.

Отличие простое: как только на чертеже есть прямой угол (квадратик в вершине), включаются два мощных инструмента, которых у обычного треугольника нет, — теорема Пифагора и тригонометрия острого угла ( $sin,$ $cos,$ $t g$ ). Почти все задачи топика — это одна из двух ситуаций: «даны два катета/сторона — найди $sin$ / $cos$ / $t g$ » или наоборот «дано отношение и одна сторона — найди другую сторону». Разберёмся, как не путаться.

Прямоугольный треугольник: катеты, гипотенуза, острый угол

Тригонометрия острого угла

Три отношения задают всю тригонометрию прямоугольного треугольника. Смотреть надо всегда от того угла, про который спрашивают.

ВАЖНОЕ

Синус, косинус, тангенс острого угла

Для острого угла $α$ прямоугольного треугольника:

sin α = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза}, cos α = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}, t g α = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет}

Эти определения (в виде $sin α = \frac{a}{c},$ $cos α = \frac{b}{c},$ $t g α = \frac{a}{b}$ ) есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но надо уметь мгновенно решить, какой катет противолежащий, а какой прилежащий.

✓СОВЕТ

Как определить катеты для нужного угла

Противолежащий катет — тот, что лежит напротив угла и его не касается.
Прилежащий катет — тот, что вместе с гипотенузой образует сам угол.
Гипотенуза всегда одна и та же (напротив прямого угла) — она в определении $sin$ и $cos,$ но её нет в $t g .$

Если спрашивают про угол $B,$ а прямой угол в $C,$ то прилежащий к $B$ катет — это $B C$ (он идёт от $B$ ), а противолежащий — $A C .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Как найти второе отношение по первому

Если дан $sin α,$ а нужен $cos α$ (или наоборот), пользуйся основным тригонометрическим тождеством — оно тоже есть в справочных материалах КИМ:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

А тангенс — это $t g α = \frac{sin α}{cos α} .$ Но чаще на ОГЭ проще достроить катеты и считать по определению напрямую.

Теорема Пифагора

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты. Формула есть в справочных материалах КИМ.

Теорема Пифагора на прямоугольном треугольнике

✓СОВЕТ

Пифагоровы тройки — считай устно

Некоторые наборы сторон встречаются постоянно. Узнаёшь их — экономишь время:

3 - 4 - 5, 6 - 8 - 10, 5 - 12 - 13, 8 - 15 - 17, 9 - 40 - 41

и всё, что получается из них умножением на число (например, $3 - 4 - 5$ даёт $9 - 12 - 15$ ). В каждой тройке последнее (наибольшее) число — гипотенуза.

Радиус описанной окружности

Отдельный, любимый на ОГЭ факт именно про прямоугольный треугольник.

ВАЖНОЕ

Описанная окружность прямоугольного треугольника

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это диаметр описанной окружности. Значит, её центр — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы:

R = \frac{c}{2}

Описанная окружность прямоугольного треугольника

iЗАМЕЧАНИЕ

Готовой формулы R = c/2 в справочных нет

В листе КИМ есть теорема синусов ( $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ ), из которой это следует, но саму формулу «радиус = половина гипотенузы» надо помнить. То же и про медиану: медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине — это тот же радиус.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу про прямоугольный треугольник

1. Найди прямой угол и отметь: две стороны при нём — катеты, третья (напротив) — гипотенуза, она самая длинная.
2. Пойми, что спрашивают. $sin$ / $cos$ / $t g$ угла — работает определение. Неизвестная сторона по двум другим — теорема Пифагора. Сторона по отношению и одной стороне — снова определение, но выраженное «наоборот». Радиус/медиана к гипотенузе — половина гипотенузы.
3. Для нужного угла определи противолежащий и прилежащий катеты. Ошибиться тут — потерять весь балл.
4. Подставь и посчитай. Если получилась дробь — сократи и переведи в десятичную.
5. Проверь формат ответа (см. ловушки ниже).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Формат ответа. В бланк пишут только число: 0,8, а не 0.8 и не 4/5. Десятичная дробь — через запятую.
Не путай катет с гипотенузой. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда длиннее любого катета. В теореме Пифагора её квадрат стоит один и равен сумме двух других.
Смотри от нужного угла. Для угла $B$ и для угла $A$ противолежащий и прилежащий катеты — разные, поэтому $t g A \neq = t g B .$
$t g$ может быть больше 1. Например, $t g B = 7$ — это нормально: тангенс не обязан быть меньше единицы (в отличие от $sin$ и $cos$ острого угла).

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему этот балл нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и геометрические задачи второй части). Прямоугольный треугольник в задании 15 — самый простой способ взять геометрический балл, ведь тут всё решается в одно-два действия.

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от простой к составной.

ПРИМЕР 1

Сторона по синусу угла

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $9 0^{\circ},$ $sin B = \frac{5}{17},$ $A B = 51 .$ Найдите $A C .$

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C

ПРИМЕР 2

Второй катет по теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны $40$ и $41$ соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

ПРИМЕР 3

Радиус описанной окружности

В треугольнике $A B C$ известно, что $A C = 16,$ $B C = 12,$ угол $C$ равен $9 0^{\circ} .$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Что запомнить

Тригонометрия: $sin$ и $cos$ делят катет на гипотенузу, $t g$ — катет на катет. Всегда смотри от нужного угла: противолежащий и прилежащий катеты для $A$ и $B$ разные.
Обратный ход: если дано отношение и одна сторона — выражай нужную сторону из определения ( $A C = A B \cdot sin B$ и т. п.).
Пифагор: $a^{2} + b^{2} = c^{2};$ узнавай тройки $3 - 4 - 5,$ $5 - 12 - 13,$ $8 - 15 - 17,$ $9 - 40 - 41 .$
Описанная окружность: её центр — середина гипотенузы, $R = \frac{c}{2};$ медиана к гипотенузе тоже равна её половине.
Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую; $t g$ острого угла может быть больше $1 .$

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задание 15.

Задачи именно на прямоугольный треугольник — в коллекции топика: Прямоугольный треугольник.