Прямоугольник — ОГЭ

Прямоугольник (Задание 17)

Прямоугольник — это самый «спокойный» четырёхугольник в задании 17: все углы прямые, а значит любой чертёж легко раскладывается на прямоугольные треугольники, где работают теорема Пифагора и тангенс. В нашем банке ОГЭ этот сюжет почти всегда крутится вокруг двух вещей: диагоналей прямоугольника и квадрата, связанного с окружностью (вписанной или описанной). Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, поэтому он живёт в этой же теме.

Здесь ты научишься быстро видеть три ключевых факта: диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, диагональ квадрата равна $a 2,$ а окружность вокруг квадрата опирается на его диагональ. Общий обзор всех фигур задания 17 — в конспекте типа; тут копаем именно прямоугольник и квадрат.

Диагонали прямоугольника

Главное свойство, из которого растёт половина задач этого топика.

ВАЖНОЕ

Диагонали прямоугольника

Диагонали равны: $A C = B D .$
Точкой пересечения $O$ они делятся пополам: $A O = O C = B O = O D = \frac{d}{2} .$
Значит все четыре отрезка от центра $O$ до вершин равны — центр одинаково удалён от всех вершин.

Прямоугольник ABCD с равными диагоналями и центром O

✓СОВЕТ

Четыре равных отрезка — источник равнобедренных треугольников

Раз $O A = O B = O C = O D,$ то каждый треугольник, отрезанный диагоналями (например $A O B$ или $B O C$ ), — равнобедренный. Отсюда берутся все задачи «найди угол между диагоналями»: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Диагональ и площадь

ВАЖНОЕ

Диагональ прямоугольника и квадрата

Диагональ достраивается до прямоугольного треугольника со сторонами прямоугольника и находится по теореме Пифагора:

d = a^{2} + b^{2} .

У квадрата обе стороны равны ( $a = b$ ), поэтому диагональ короче считать по готовой формуле:

d = a 2 .

iЗАМЕЧАНИЕ

Что из этого — в справочных материалах

На экзамене тебе выдадут лист со справочными материалами. Теорема Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ там есть — ей и находи диагональ. А вот готовой строки « $d = a 2$ » на листе нет: это следствие, которое стоит держать в голове, чтобы не терять время. Площадь прямоугольника $S = ab$ на листе тоже отдельно не написана — она получается из формулы площади параллелограмма $S = ab sin γ$ (есть в справочных), ведь у прямоугольника $γ = 9 0^{\circ}$ и $sin 9 0^{\circ} = 1 .$

Квадрат и окружность

Самый частый сюжет топика в нашем банке — квадрат с вписанной или описанной окружностью.

ВАЖНОЕ

Окружность и квадрат

Описанная окружность (проходит через вершины): её диаметр — это диагональ квадрата, поэтому

R = \frac{d}{2} = \frac{a 2}{2} .

Вписанная окружность (касается сторон): её диаметр — это сторона квадрата, поэтому

r = \frac{a}{2} .

Квадрат с описанной и вписанной окружностями

iЗАМЕЧАНИЕ

Центр — один

И вписанная, и описанная окружности квадрата имеют общий центр — точку пересечения диагоналей. Формулы длины окружности $C = 2 π r$ и площади круга $S = π r^{2}$ есть в справочных материалах; специальных формул про квадрат в окружности там нет — их выводи через диагональ и сторону.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу про прямоугольник

1. Опознай, что дано: сторона, диагональ, её половина ( $B O,$ $A O$ ), угол или радиус окружности.
2. Про диагонали? Вспомни: они равны и делятся пополам. Половину умножь на 2 — получишь всю диагональ; вторую диагональ приравняй к первой.
3. Про угол между диагоналями? Найди равнобедренный треугольник ( $O A = O B$ ), используй равные углы при основании и сумму углов треугольника $18 0^{\circ} .$
4. Про квадрат и окружность? Реши, какая окружность: описанная ( $R = \frac{d}{2},$ опирается на диагональ) или вписанная ( $r = \frac{a}{2},$ опирается на сторону). Переходи между стороной и диагональю через $d = a 2 .$
5. Посчитай и проверь ответ на здравый смысл: длина — положительна, угол — в градусах, площадь соразмерна стороне.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа и частые ошибки

В бланк пиши только число, без единиц и без слова «градусов». Десятичную дробь — через запятую: $1, 8,$ а не $1.8 .$
Диагональ прямоугольника — это не $a + b .$ Всегда через Пифагора: $d = a^{2} + b^{2} .$
$B O = 13$ — это половина диагонали, а не вся. Не забудь умножить на 2.
Лишнее данное дают специально. Если спрашивают только диагональ $A C,$ то вторая сторона (например $A B = 11$ ) может вообще не понадобиться — не подставляй её «на всякий случай».
Не путай радиусы: описанная окружность цепляется за вершины (диагональ), вписанная — за стороны (сторона). $R \neq = r .$

Разбор задач

Три задачи из нашего банка ОГЭ — от простой к составной.

ПРИМЕР 1

Диагональ прямоугольника

Диагонали $A C$ и $B D$ прямоугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O,$ $B O = 13,$ $A B = 11 .$ Найдите $A C .$

Прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O

ПРИМЕР 2

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $5 1^{\circ}$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Прямоугольник с диагоналями, угол 51° между диагональю и стороной

ПРИМЕР 3

Квадрат, описанная окружность

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $42 .$ Найдите длину стороны этого квадрата.

Квадрат, вписанный в окружность, с диагональю-диаметром

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 17 входит в геометрический блок (задания 15–19). Правило ОГЭ: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Пропустить геометрию целиком нельзя — а прямоугольник и квадрат одни из самых предсказуемых задач блока. Реши задание 17 уверенно, и половина порога уже у тебя.

Отработка

Закрепи прямоугольник и квадрат на задачах банка:

Коллекция топика: /math/oge-math/collections/topic-pryamougolnik-17-oge
Все задачи типа: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-17

Прорешай 5–6 задач подряд: рука быстро запомнит, что половину диагонали надо удваивать, где описанная окружность цепляется за диагональ, а где вписанная — за сторону.