Задачи на проценты, сплавы и смеси — ОГЭ

Задачи на проценты, сплавы и смеси (Задание 21)

В конспекте задания 21 мы разобрали четыре сюжета текстовых задач. Здесь углубимся в один из них — самый «химический». В нём нет ни скорости, ни времени: тебе дают растворы, сплавы, сушёные фрукты и спрашивают про массу вещества или его долю. Общая схема задания 21 (обозначить неизвестное, составить уравнение, отобрать корень) остаётся, но опорная идея здесь своя.

Главное отличие этого подвида: решение всегда строится на величине, которая сохраняется. При сушке испаряется только вода — масса сухого вещества остаётся прежней. При сплавлении металлов масса каждого металла не меняется. При смешивании растворов складываются и общая масса, и масса чистого вещества. Найди то, что не меняется, — на нём и вырастет уравнение.

Доля вещества и таблица «масса — концентрация»

ВАЖНОЕ

Масса вещества через долю

Доля (концентрация) $p$ показывает, какую часть смеси занимает вещество. Если масса смеси равна $m,$ то самого вещества в ней:

m_{вещества} = m \cdot p, p = \frac{m _{вещества}}{m} .

Проценты переводим в доли делением на $100 :$ $57% = 0, 57 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Формул этого подвида в справочных материалах нет

На экзамене тебе выдадут лист справочных материалов, но формул на проценты, концентрацию и смеси там нет — их держи в голове. Зато на листе есть таблица квадратов двузначных чисел и формула корней квадратного уравнения — они пригодятся, если после составления уравнения выйдет квадратное.

Чтобы не запутаться, заведи табличку: строки — порции (первый раствор, второй, смесь), столбцы — три связанные величины. Заполнив две, третью получаешь умножением.

Порция	Масса	Доля вещества	Масса вещества
Первая	$m_{1}$	$p_{1}$	$m_{1} p_{1}$
Вторая	$m_{2}$	$p_{2}$	$m_{2} p_{2}$
Смесь	$m_{1} + m_{2}$	$p$	$m_{1} p_{1} + m_{2} p_{2}$

Что происходит при смешивании

ВАЖНОЕ

Концентрация смеси

При сливании двух растворов складываются и масса, и вещество, поэтому концентрация смеси — это вся масса вещества, делённая на всю массу смеси:

p = \frac{m _{1} p _{1} + m _{2} p _{2}}{m _{1} + m _{2}} .

Два раствора разной концентрации сливаются в один

✓Ключевой приём

Если сливают равные массы двух растворов ( $m_{1} = m_{2}$ ), формула упрощается до среднего арифметического концентраций:

p = \frac{p _{1} + p _{2}}{2} .

Это часто прячут во второй строчке условия («если слить равные массы этих растворов…»). Массы сокращаются — концентрация смеси не зависит от того, сколько именно взяли.

iЗАМЕЧАНИЕ

Сплавы — то же самое

Задача про сплав двух металлов устроена так же, только вместо «доли кислоты в растворе» — «доля металла в сплаве». Масса каждого металла при переплавке сохраняется, значит формула концентрации смеси работает слово в слово.

Алгоритм

Как решать задачу на смеси

1. Обозначь неизвестное. Чаще удобно взять за $x$ и $y$ концентрации (в долях), а не массы — уравнения выходят проще.
2. Составь табличку «масса — доля — масса вещества» для каждой порции и для смеси.
3. Запиши уравнения по сохраняющейся величине: масса вещества в смеси = сумма масс вещества в порциях. Каждое условие задачи — отдельное уравнение.
4. Реши систему. Обычно она линейная — выражаешь одну переменную и подставляешь.
5. Вернись к вопросу. Спрашивают не концентрацию, а массу вещества — не забудь домножить долю на массу порции.
6. Запиши ответ числом и прикинь правдоподобие: концентрация смеси лежит между концентрациями порций.

Разбор задач

ПРИМЕР 1

Сушка: сколько свежих нужно

Свежие фрукты содержат 78 % воды, а высушенные — 17 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

ПРИМЕР 2

Два раствора кислоты

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

ПРИМЕР 3

Спрашивают про второй сосуд

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отвечают не на тот вопрос

Через $x$ и $y$ мы находим концентрации, а спрашивают почти всегда массу вещества. Найдя $y = 0, 65,$ легко записать в бланк «65» или «0,65» — а нужно домножить на массу сосуда. Всегда перечитывай последнюю строку условия: масса или доля?

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Процент — от какого целого

$83%$ сухого вещества в высушенных фруктах и $22%$ в свежих берутся от разных масс. Прежде чем приравнивать, переведи каждый процент в долю и умножь на массу именно своей порции. Путаница «целого» — самая частая ошибка в этом подвиде.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

В бланк вносим только число, без «кг» и без «%». Десятичную дробь пиши через запятую: $2, 6,$ а не $2.6 .$ Обыкновенную дробь доведи до конечного числа.

✓СОВЕТ

Проверяй правдоподобие

Концентрация смеси всегда лежит между концентрациями исходных растворов, а масса высушенных фруктов меньше массы свежих. Если получилось иначе — где-то ошибка. Подставь найденные значения обратно в оба условия: это ловит почти все арифметические промахи.

Отработка

Разобрал теорию — закрепи на реальных задачах банка.

Все задачи задания 21: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-21
Подборка этого сюжета — проценты, сплавы и смеси: /math/oge-math/collections/topic-procenty-splavy-smesi-21-oge