Правильные многоугольники — ОГЭ

Правильные многоугольники (Задание 24)

Внутри задания 24 (доказательства по геометрии) есть особый сюжет — правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и их «родня». Отличие от остальных подтем задания 24 в том, что здесь у фигуры сразу много равенств: все стороны одинаковые, все углы одинаковые. Это огромная фора для доказательства — из «всё равно всему» почти всегда получается либо равнобедренный треугольник, либо пара равных треугольников, а из них уже вытекает то, что просят доказать.

Второй бонус правильного многоугольника: у него есть центр — одна точка, равноудалённая и от всех вершин, и от всех сторон. Через центр в фигуру вписывается окружность (касается всех сторон), а вокруг описывается окружность (проходит через все вершины). Многие доказательства держатся именно на этом центре и на двух окружностях.

iЗАМЕЧАНИЕ

Что значит «правильный»

Многоугольник называют правильным, только если у него выполнены оба условия сразу:

все стороны равны;
все углы равны.

Одного условия мало. У ромба все стороны равны, но углы разные — он не правильный. У прямоугольника все углы прямые, но стороны разные — тоже не правильный. Правильный четырёхугольник — это ровно квадрат (и стороны, и углы равны).

Формулы и приёмы этого топика

ВАЖНОЕ

Внутренний угол правильного многоугольника

Сумма всех углов выпуклого $n$ -угольника равна $18 0^{\circ} (n - 2) .$ У правильного многоугольника все углы равны, поэтому каждый угол:

α = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n} .

Например, у правильного шестиугольника $α = \frac{18 0 ^{\circ} \cdot 4}{6} = 12 0^{\circ} .$

Сама сумма $18 0^{\circ} (n - 2)$ есть в справочных материалах КИМ — её учить наизусть не обязательно, надо лишь поделить на $n,$ потому что углы равны.

ВАЖНОЕ

Центральный угол

Все вершины правильного $n$ -угольника лежат на описанной окружности с центром $O .$ Радиусы, проведённые в соседние вершины, равны ( $O A_{1} = O A_{2} = \dots = R$ ) и делят полный угол на $n$ равных частей. Центральный угол:

∠ A_{1} O A_{2} = \frac{36 0 ^{\circ}}{n} .

Радиусы разбивают правильный $n$ -угольник на $n$ равных равнобедренных треугольников — это главный рабочий приём топика.

ВАЖНОЕ

Правильный треугольник

Для равностороннего (правильного) треугольника со стороной $a :$ радиус описанной окружности, радиус вписанной, площадь и высота —

R = \frac{a 3}{3}, r = \frac{a 3}{6}, S = \frac{a ^{2} 3}{4}, h = \frac{a 3}{2} .

Все четыре формулы есть в справочных материалах КИМ — их не нужно выводить, достаточно уметь подставить сторону $a .$

✓Главный приём

Правильный многоугольник — это конструктор из равных деталей. Почти любое доказательство сводится к тому, чтобы указать равные треугольники (по двум сторонам и углу между ними — стороны фигуры равны, угол между ними равен внутреннему углу) или равнобедренный треугольник (две стороны равны — значит равны и углы при основании). Дальше из равенства деталей вытекает равенство отрезков, углов, диагоналей.

Как доказывать

АЛГОРИТМ

Алгоритм для задачи про правильный многоугольник

1. Крупный чертёж. Отметь на нём все равные стороны одинаковыми штрихами, все равные углы — одинаковыми дугами. Если в задаче есть центр или окружность — нарисуй их.
2. Выпиши равенства. «Все стороны равны», «все углы равны на $\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$ », «радиусы в вершины равны $R$ ». Это твой запас фактов.
3. Найди равные (или равнобедренные) треугольники. Ищи две пары равных сторон с равным углом между ними или две равные стороны, дающие равнобедренный треугольник.
4. Выведи требуемое. Из равенства треугольников — равные соответствующие стороны и углы; из равнобедренного — равные углы при основании.
5. Оформи словами и закончи фразой «Что и требовалось доказать».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ловушки именно этого топика

«Равные стороны» ≠ «правильный». Ромб и прямоугольник не правильные. В доказательстве используй только те равенства, которые реально даны, а не «на глаз похоже».
Формат ответа — не число, а текст. В задании 24 нет ответа-цифры: результат — само доказательство, записанное полными фразами и завершённое словами «Что и требовалось доказать».
Ссылайся на теорему, а не на рисунок. «Из чертежа видно» — не доказательство. Каждый шаг обосновывай: «по двум сторонам и углу между ними», «углы при основании равнобедренного треугольника равны», «накрест лежащие при параллельных».
Не забывай обосновать, что точка лежит где надо (внутри угла, на стороне) — иначе цепочка неполна.

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 24 — из второй части и стоит 2 балла. По правилам ОГЭ для отметки выше «двойки» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Одно аккуратно оформленное доказательство целиком закрывает этот порог, поэтому геометрию во второй части нельзя пропускать «на потом».

Разбор задач

Задачи ровно про правильные многоугольники в банке ОГЭ встречаются редко, поэтому разберём две родственные задачи задания 24. Приёмы в них те же, что работают и на правильных многоугольниках: «равные стороны $\to$ равнобедренный треугольник $\to$ равные углы» и «точка на биссектрисе $\to$ равноудалена от сторон» (а равноудалённая от всех сторон точка — это и есть центр вписанной окружности правильного многоугольника).

ПРИМЕР 1

Равные стороны дают равнобедренный треугольник

Сторона $A D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A B .$ Точка $M$ — середина стороны $A D .$ Докажите, что $B M$ — биссектриса угла $A B C .$

ПРИМЕР 2

Точка на биссектрисе равноудалена от сторон

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O,$ лежащей на стороне $A D .$ Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $A B,$ $B C$ и $C D .$

✓Связь с топиком

В примере 2 точка $O$ оказалась равноудалена от всех сторон — ровно так устроен центр вписанной окружности правильного многоугольника: он лежит на всех биссектрисах углов и отстоит от каждой стороны на радиус $r .$ А в примере 1 «равные стороны $\to$ равнобедренный треугольник $\to$ равные углы» — это тот самый приём, которым доказывают равенство диагоналей и углов в правильных многоугольниках.

Что запомнить

Правильный = равные стороны И равные углы. Одного условия мало (ромб, прямоугольник — не правильные).
Равные детали. Ищи равные или равнобедренные треугольники — из них вытекает всё остальное.
Центр и две окружности. Центр равноудалён от вершин ( $R$ ) и от сторон ( $r$ ); радиусы бьют фигуру на $n$ равных равнобедренных треугольников, центральный угол $\frac{36 0 ^{\circ}}{n} .$
Из справочных материалов можно брать сумму углов $18 0^{\circ} (n - 2)$ и формулы правильного треугольника ( $R, r, S, h$ ) — они выданы на экзамене.
Ответ — доказательство словами, завершай фразой «Что и требовалось доказать».

Отработка

Реши все задачи этого типа в банке: Задание 24 — задачи на доказательство.

Тренируйся по этой подтеме в коллекции: Правильные многоугольники.