Площади — ОГЭ

Площади (Задание 18)

В задании 18 просят найти разное: длину, диагональ, среднюю линию, расстояние. Здесь мы разбираем один конкретный подвид — когда нужна площадь фигуры на клетчатой бумаге (клетка $1 \times 1$ ): треугольника, трапеции, ромба, параллелограмма. Сюда же попадает вопрос «во сколько раз площадь одной фигуры больше площади другой» — чаще всего про два круга.

Чем этот подвид удобен: клетка — готовая линейка, и все размеры, которые нужны для формулы площади (основание, высота, диагонали, радиус), читаются прямо по клеткам. Тебе почти не надо считать длины наклонных сторон — в формулу площади идут не они, а высоты и диагонали, которые обычно лежат вдоль сетки. Ответ здесь почти всегда целое число.

Формулы площади

Все формулы площади из этого задания есть в справочных материалах ФИПИ. Учить их наизусть не обязательно, но надо мгновенно понимать, какую взять и что в неё подставить.

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника и трапеции

S_{△} = \frac{1}{2} a h S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h

$a,$ $b$ — основания, $h$ — высота (расстояние между основанием и противоположной вершиной или между основаниями). Обе формулы есть в справочных материалах КИМ.

ВАЖНОЕ

Площадь параллелограмма

S = a h

$a$ — сторона (основание), $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Формула есть в справочных материалах КИМ.

Параллелограмм на клетчатой бумаге: основание и высота

ВАЖНОЕ

Площадь ромба через диагонали

S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

$d_{1}$ и $d_{2}$ — диагонали ромба. Формула есть в справочных материалах КИМ. На решётке диагонали ромба почти всегда идут по линиям сетки, поэтому считаются напрямую по клеткам.

Ромб на клетчатой бумаге, диагонали по линиям сетки

ВАЖНОЕ

Площадь круга

S = π r^{2}

$r$ — радиус. Формула есть в справочных материалах КИМ. В задачах «во сколько раз площадь больше» сам $π$ сокращается, поэтому ответ выходит без него — целое число.

Приём: отношение площадей

Отдельный частый вопрос — не сама площадь, а во сколько раз одна больше другой. Здесь площади не считают до конца: их отношение сводится к отношению линейных размеров.

✓Отношение площадей кругов

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому

\frac{S _{больш}}{S _{мен}} = \frac{π R ^{2}}{π r ^{2}} = (\frac{R}{r})^{2} .

Нашёл радиусы по клеткам — возвёл их отношение в квадрат. То же правило работает для любых подобных фигур: во сколько раз больше линейный размер, во столько раз в квадрате больше площадь.

Радиус не всегда лежит вдоль сетки: если окружность проходит через узел, смещённый и по горизонтали, и по вертикали, радиус находят теоремой Пифагора (например, при смещении на $1$ и $2$ клетки: $r = 1^{2} + 2^{2} = 5$ ).

Универсальный запасной приём

✓Разбиение и достройка

Если фигура «неудобная» и формула не вспоминается — её всегда можно разбить на прямоугольники и прямоугольные треугольники (их площади считаются легко) или достроить до большого прямоугольника и вычесть лишние уголки. Работает для любой фигуры с вершинами в узлах сетки.

Разбиение фигуры на прямоугольник и треугольники

Алгоритм

Как найти площадь на решётке

1. Определи фигуру: треугольник, трапеция, ромб, параллелограмм или круг — от этого зависит формула.
2. Найди размеры для формулы — основание и высоту, диагонали или радиус. Всё, что вдоль сетки, считай прямо по клеткам.
3. Высота — это перпендикуляр между основанием и противоположной вершиной (или между основаниями), а не наклонная сторона. Считай её по вертикали или горизонтали сетки.
4. Подставь в формулу площади — все числа уже известны.
5. Если спрашивают «во сколько раз» — раздели площади (или возведи в квадрат отношение линейных размеров).
6. Запиши ответ числом без единиц; десятичную дробь — через запятую.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

На чём теряют балл именно в площадях

Высота, а не боковая сторона. В треугольнике, трапеции и параллелограмме в формулу идёт высота — перпендикуляр (по сетке), а не наклонная сторона. Это ошибка №1.
Диагонали, а не стороны. В формуле ромба $S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ стоят диагонали. Сторону ромба легко перепутать с диагональю — бери то, что идёт по линиям сетки.
Отношение площадей — это квадрат отношения размеров. Если радиусы относятся как $3 : 1,$ то площади как $9 : 1,$ а не $3 : 1 .$ Забыть квадрат — типичная ошибка.
Единицы и формат. Площадь в клетках $1 \times 1$ — просто число, в бланк без «см²». Десятичную дробь пиши через запятую: $12, 5,$ а не $12.5 .$
Не «на глаз». Все размеры сверяй по узлам сетки, наклонные линии обманчивы.

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 18 стоит в первой части, где балл даётся легко. Помни правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Клетчатые задачи на площадь — самый доступный способ закрыть этот порог, терять здесь баллы нельзя.

Примеры решения задач

Три задачи от простой к составной: формула ромба, треугольник с «неудобной» вершиной, отношение площадей кругов.

ПРИМЕР 1

Площадь ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

ПРИМЕР 2

Площадь треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

Треугольник на клетчатой бумаге с высоким наклоном

ПРИМЕР 3

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Два круга на клетчатой бумаге, радиусы 1 и корень из 5

Что запомнить

Формула по фигуре: треугольник и трапеция — через высоту, ромб — через диагонали, параллелограмм — сторона на высоту, круг — $π r^{2} .$ Все они есть в справочных материалах ФИПИ.
В формулу идут высота и диагонали, а не наклонные стороны — и они обычно лежат вдоль сетки.
«Во сколько раз» — это квадрат отношения радиусов (или любых линейных размеров), а не само отношение.
Не вспомнил формулу — разбей фигуру на прямоугольники и треугольники или дострой до прямоугольника.
Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на подборке по теме: Площади (Задание 18).

Больше задач этого типа целиком: все задачи типа 18.