Параллелограмм — ОГЭ

Параллелограмм (Задание 17)

Параллелограмм — базовая фигура задания 17: прямоугольник, ромб и квадрат все выросли из него, поэтому его свойства ты будешь применять и в соседних топиках. Но у «чистого» параллелограмма в банке ОГЭ есть свой узкий набор вопросов, и стоит узнавать их сходу.

Тебе дадут одно из трёх: рисунок с высотой и попросят площадь; диагонали, которые пересекаются в точке, и попросят отрезок диагонали; или диагональ, которая делит угол, и попросят больший/меньший угол. У параллелограмма нет «своей» короткой формулы вроде $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ у ромба или средней линии у трапеции — площадь всегда считается как $S = a \cdot h,$ а вся хитрость в том, чтобы аккуратно вытащить нужные числа из чертежа.

Параллелограмм ABCD: стороны, диагонали, высота

Свойства, на которых всё держится

ВАЖНОЕ

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны равны, противоположные углы равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $18 0^{\circ} .$
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

iЗАМЕЧАНИЕ

Этого в справочных материалах нет

Свойства параллелограмма (равенство сторон, углы по $18 0^{\circ},$ диагонали пополам) в выданный на ОГЭ лист не входят — их надо знать наизусть. А вот формулы площади там есть (см. ниже).

ВАЖНОЕ

Площадь параллелограмма

S = a \cdot h_{a} S = ab sin γ

$a$ — сторона (основание), $h_{a}$ — высота, проведённая к этой стороне; $γ$ — угол между сторонами $a$ и $b .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула из справочных материалов

Обе формулы площади ( $S = a h_{a}$ и $S = ab sin γ$ ) есть в справочном листе ОГЭ — учить наизусть не обязательно, но надо уметь выбрать нужную и не перепутать, к какой стороне проведена высота.

Главный приём: высота разбивает основание

Почти все задачи на площадь параллелограмма в банке устроены одинаково: на рисунке высота падает на основание и делит его на два отрезка, а рядом стоит длина боковой стороны. Длина основания — это сумма двух отрезков, а боковая сторона нужна лишь для самопроверки: высота, отрезок основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник (часто «египетский» $3$ - $4$ - $5$ или $5$ - $12$ - $13$ ).

Высота делит основание параллелограмма на два отрезка

АЛГОРИТМ

Как решать параллелограмм в задании 17

1. Прочитай вопрос: площадь, отрезок диагонали или угол — это три разных сюжета.
2. Площадь: найди основание $a$ (если высота делит его на части — сложи их) и высоту $h$ к этому основанию, затем $S = a \cdot h .$
3. Диагонали: вспомни, что они делятся точкой пересечения пополам — искомый отрезок равен половине своей диагонали, остальные данные обычно лишние.
4. Углы: соседние углы дают $18 0^{\circ};$ если проведена диагональ — используй накрест лежащие углы (диагональ = секущая для параллельных сторон) и сумму углов треугольника $18 0^{\circ} .$
5. Проверь формат: в бланк идёт одно число, углы — в градусах без слова «градусов».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Высота — к своей стороне. В $S = a h_{a}$ высота проведена именно к стороне $a .$ Не умножай сторону на высоту, опущенную к другой стороне.
Лишние данные. Боковая сторона, вторая диагональ, длина стороны при поиске угла часто даны, чтобы сбить. Бери в формулу только нужное.
Меньший или больший угол. У параллелограмма всего два значения угла: $α$ и $18 0^{\circ} - α .$ Спросили меньший — отдай тот, что меньше $9 0^{\circ},$ не наоборот.
Формат ответа. Только число, десятичная дробь через запятую: $12, 5,$ а не $12.5;$ без единиц.

Разбор задач

Три задачи из нашего банка ОГЭ — на площадь, на диагонали и на углы.

ПРИМЕР 1

Площадь по рисунку

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Параллелограмм с высотой 12; основание разбито на отрезки 3 и 5, боковая сторона 13

ПРИМЕР 2

Отрезок диагонали

Диагонали $A C$ и $B D$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $O,$ $A C = 12,$ $B D = 20,$ $A B = 7 .$ Найдите $D O .$

Параллелограмм ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O

ПРИМЕР 3

Больший угол по диагонали

Диагональ $A C$ параллелограмма $A B C D$ образует с его сторонами углы, равные $2 5^{\circ}$ и $3 0^{\circ} .$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Параллелограмм ABCD с диагональю AC; при вершине A углы 25° и 30°

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 17 — часть геометрического блока (задания 15–19). Помни правило ОГЭ: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Пропустить её целиком нельзя, а параллелограмм — один из самых предсказуемых сюжетов. Отработай три его шаблона — и первичный балл почти гарантирован.

Отработка

Закрепи параллелограмм на задачах банка:

Коллекция топика: /math/oge-math/collections/topic-parallelogramm-17-oge
Все задачи задания 17: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-17

Прорешай по 5–6 задач на каждый из трёх сюжетов (площадь, диагонали, углы): рука быстро запомнит, какое свойство под какой вопрос, и параллелограмм станет автоматическим баллом.