Параболы — ОГЭ

Параболы (Задание 22)

В задании 22 «параболы» — это самый частый из трёх сюжетов, и внутри него живут два довольно разных подвида. Их важно не путать, потому что вопрос в них ставят по-разному.

Первый подвид — парабола под модулем: тебе дают $y = ∣ a x^{2} + b x + c ∣$ и спрашивают, сколько общих точек график может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс (то есть с горизонталью $y = c$ ). Здесь ты двигаешь прямую снизу вверх и считаешь пересечения.

Второй подвид — дробь, которая сокращается до параболы: тебе дают громоздкую дробь вроде $y = \frac{( x ^{2} + 1 ) ( x - 2 )}{2 - x},$ а после сокращения остаётся обычная парабола, но с одной выколотой точкой. Спрашивают про прямую $y = k x$ — она проходит через начало координат и поворачивается. Здесь всё решает не картинка, а уравнение и его дискриминант.

Разберём оба. Балл дают за грамотный перебор случаев, а не за красоту чертежа.

Что нужно про параболу

ВАЖНОЕ

Вершина и нули

Парабола $y = a x^{2} + b x + c .$ Абсцисса вершины и её ордината:

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0}) .

Ветви вверх при $a > 0$ (вершина — минимум), вниз при $a < 0$ (вершина — максимум). Нули (точки на оси $O x$ ) — из уравнения $a x^{2} + b x + c = 0 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Формулы есть в справочных материалах

Формула вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a},$ формула корней $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ и разложение $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ будут в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но надо уметь ими быстро пользоваться прямо на экзамене.

Парабола под модулем

ВАЖНОЕ

Модуль квадратного трёхчлена

y = a x^{2} + b x + c .

Часть параболы, ушедшую под ось $O x,$ отражают вверх. «Яма» превращается в «горб» той же высоты: вершина $(x_{0}; y_{0})$ переходит в $(x_{0}; ∣ y_{0} ∣),$ а нули остаются на месте.

Парабола под модулем и горизонтали разной высоты

Ключ к подсчёту: уравнение $∣ a x^{2} + b x + c ∣ = c$ распадается на два квадратных — $a x^{2} + b x + c = c$ и $a x^{2} + b x + c = - c .$ Каждое даёт не больше двух корней, поэтому общих точек не больше четырёх. Ровно четыре получаются, когда горизонталь проходит между осью $O x$ и вершиной горба.

Дробь, сокращающаяся до параболы

ВАЖНОЕ

Сокращение и выколотая точка

y = \frac{( \dots ) ( x - p )}{- ( x - p )} = - (\dots), x \neq = p .

После сокращения остаётся парабола, но множитель $(x - p)$ в знаменателе запрещает $x = p .$ Значит, точка с абсциссой $x = p$ выколота — в упрощённой формуле её ничто не выдаёт, но на графике это дырка.

Парабола ветвями вниз с выколотой точкой и прямыми y=kx

Алгоритм

Как решать параболу в задании 22

1. Упрости. Для модуля — найди нули и вершину подмодульной параболы. Для дроби — сократи и отметь выколотую точку $x = p$ (её ординату вычисли по упрощённой формуле).
2. Составь уравнение пересечения. С горизонталью: $∣ a x^{2} + b x + c ∣ = c .$ С прямой через начало: подставь $y = k x$ и приведи к виду $x^{2} + k x + c_{0} = 0 .$
3. Разбери по дискриминанту $D :$ $D < 0$ — точек нет, $D = 0$ — касание (одна точка), $D > 0$ — две.
4. Проверь выколотую точку. Если корень попал в $x = p$ — эта точка не в счёт. Часто именно она даёт «лишнее» значение параметра в ответе.
5. Собери ответ — все подходящие значения через ;, десятичные с запятой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Формат ответа. Десятичные — через запятую: $k = - 2, 5,$ а не $k = - 2.5 .$ Несколько значений — через ;.
Выколотую точку легко потерять. Прямая через дырку общих точек в ней НЕ даёт — это отдельное значение параметра, а не «две точки».
Касание — это одна точка, не ноль. При $D = 0$ прямая задевает параболу ровно в одной точке.
Больше четырёх пересечений с горизонталью у модуль-параболы не бывает — если насчитал пять, ищи ошибку.

Примеры

ПРИМЕР 1

Парабола под модулем

Постройте график функции

y = ∣ x^{2} + 2 x - 3∣.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

ПРИМЕР 2

Дробь с выколотой точкой

Постройте график функции

y = \frac{( x ^{2} + 1 ) ( x - 2 )}{2 - x} .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

ПРИМЕР 3

Ещё одна дробь-парабола

Постройте график функции

y = \frac{( x ^{2} + 0 , 25 ) ( x + 1 )}{- 1 - x} .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Отработка

Закрепи оба подвида на банке — там десятки вариантов с проверкой ответа:

Все задачи типа: Задание 22 ОГЭ
Подборка по теме: Параболы

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Строй график начисто, подписывай вершину, нули и выколотую точку — эксперт проверяет логику разбора случаев. Для дробей главное правило: сократил — сразу пометь выколотую точку и держи её в голове до самого ответа.