Задание 22: Функции и их свойства. Графики функций — ОГЭ

Функции и их свойства. Графики функций (Задание 22)

Задание 22 — это «графический» пункт второй части ОГЭ. Тебе дают формулу функции, просят построить её график, а потом ответить на вопрос о том, как этот график ведёт себя относительно прямой: сколько у них общих точек, при каких значениях параметра ( $m$ или $k$ ) точек ровно две, три или ни одной.

Звучит страшно, но на самом деле весь пример распадается на два независимых шага. Сначала ты аккуратно строишь график — и почти всегда он складывается из знакомых кусков: парабол, гипербол или кусочно заданных функций с модулем. Потом ты мысленно двигаешь прямую $y = m$ (горизонтальную) или $y = k x$ (через начало координат) и считаешь пересечения. Балл тут дают именно за грамотный разбор всех случаев, а не за красивый чертёж.

Разберём три «сюжета», которые встречаются в этом задании: параболы, гиперболы и кусочно-непрерывные функции.

iЗАМЕЧАНИЕ

Как устроен ответ

В задании 22 почти всегда несколько «особых» значений параметра — граничных. Прямая задевает вершину, проходит через выколотую точку или совпадает с асимптотой. Твоя задача — найти их все и не потерять ни одного. Ответ — это набор чисел (например, m = -4; m = 1), а не отрезок.

Параболы

График квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ — это парабола. Всё, что нужно про неё помнить, — куда смотрят ветви, где вершина и где нули.

ВАЖНОЕ

Вершина параболы

Абсцисса вершины параболы $y = a x^{2} + b x + c :$

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0}) .

Если $a > 0$ — ветви вверх (вершина внизу, это минимум), если $a < 0$ — ветви вниз (вершина вверху, это максимум).

Нули (точки пересечения с осью $O x$ ) ищем из уравнения $a x^{2} + b x + c = 0 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула есть в справочных материалах

Формула корней квадратного уравнения $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a},$ формулы сокращённого умножения и формула вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ есть в справочных материалах КИМ — их не нужно учить наизусть, но надо уметь ими пользоваться.

Часто в задании 22 стоит модуль: $y = ∣ a x^{2} + b x + c ∣ .$ Тогда ту часть параболы, что ушла под ось $O x,$ отражают вверх — получается «горб».

ВАЖНОЕ

График с модулем

y = a x^{2} + b x + c = {a x^{2} + b x + c, - (a x^{2} + b x + c), где выражение ⩾ 0, где выражение < 0.

Часть параболы ниже оси $O x$ зеркально отражается вверх; нули остаются на месте, а «яма» превращается в «горб» той же высоты.

Модуль квадратного трёхчлена: отражение горба вверх

Гиперболы

График функции $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола: две ветви в противоположных четвертях, которые прижимаются к осям, но их не касаются. Оси $O x$ и $O y$ здесь — асимптоты.

ВАЖНОЕ

Гипербола со сдвигом

y = n + \frac{k}{x - p} .

Это гипербола $y = \frac{k}{x},$ сдвинутая на $p$ вправо и на $n$ вверх. Её асимптоты: вертикальная $x = p$ и горизонтальная $y = n .$

Гипербола с асимптотами и выколотой точкой

Главная хитрость гипербол в задании 22: функцию сначала надо упростить, сократив дробь. При сокращении из области определения «выпадает» точка — на графике её выкалывают (рисуют пустым кружком). Прямая, которая проходит ровно через эту дырку, общих точек с графиком не имеет — это и есть одно из искомых значений параметра.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не потеряй выколотую точку

Сокращая дробь вроде $\frac{x - 5}{x ^{2} - 5 x} = \frac{x - 5}{x ( x - 5 )} = \frac{1}{x},$ помни: сокращать на $(x - 5)$ можно только при $x \neq = 5 .$ Значит, точка $x = 5$ выколота, хотя в упрощённой формуле её ничто не выдаёт. Именно она обычно даёт «лишнее» значение параметра в ответе.

Кусочно-непрерывные функции

Третий сюжет — функции с модулем от $x,$ например $y = x ∣ x ∣ + 3∣ x ∣ - 5 x .$ Модуль $∣ x ∣$ раскрывают по определению, и график распадается на два куска, склеенных в точке $x = 0 .$

ВАЖНОЕ

Раскрытие модуля

∣ x ∣ = {x, - x, x ⩾ 0, x < 0.

Подставляем каждый случай в формулу — получаем две разные параболы: одну берём при $x ⩾ 0,$ другую при $x < 0 .$ В точке $x = 0$ обе дают одно значение, поэтому график непрерывен (склеен без разрыва).

Кусочная функция: две параболы, склеенные в нуле

✓СОВЕТ

Считай пересечения по кускам

Чтобы узнать число общих точек прямой $y = m$ с кусочным графиком, посчитай корни на каждом куске отдельно (с учётом его области: $x ⩾ 0$ или $x < 0$ ), а потом сложи. Ровно две точки обычно получаются, когда прямая проходит через вершину одной из дуг.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 22

1. Упрости формулу. Разложи знаменатель и сократи дробь (для гипербол — отметь выколотые точки); раскрой модуль по случаям (для кусочных — получишь две формулы).
2. Разбери каждый кусок. Для параболы найди ветви, вершину $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ и нули; для гиперболы — асимптоты и выколотые точки.
3. Построй график — аккуратно, с вершинами, нулями и выколотыми точками.
4. Наложи прямую. Для $y = m$ двигай горизонтальную прямую снизу вверх; для $y = k x$ — поворачивай прямую вокруг начала координат.
5. Посчитай общие точки при каждом положении прямой и выпиши все параметры, при которых выполнено условие задачи.
6. Запиши ответ — все найденные значения через ;, с десятичной запятой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Формат ответа. Десятичные — через запятую: пиши $m = - 0, 25,$ а не $m = - 0.25 .$ Несколько значений разделяй точкой с запятой.
Граничные значения. Не забудь про $m,$ при которых прямая касается вершины или совпадает с асимптотой, — их легко пропустить.
Выколотые точки. Прямая через выколотую точку общих точек НЕ даёт — это отдельное значение параметра.
Область куска. Корень, найденный «не в своей» полуплоскости ( $x ⩾ 0$ или $x < 0$ ), не считается.

Примеры

ПРИМЕР 1

Парабола под модулем

Постройте график функции

y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

ПРИМЕР 2

Гипербола с выколотой точкой

Постройте график функции

y = 2 - \frac{x - 5}{x ^{2} - 5 x} .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

ПРИМЕР 3

Кусочная функция с модулем

Постройте график функции

y = x ∣ x ∣ - ∣ x ∣ - 3 x .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Отработка

Теперь закрепи навык на банке задач — там десятки вариантов всех трёх сюжетов с проверкой ответа:

Все задачи типа: Задание 22 ОГЭ
Подборки по под-темам:

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Задание 22 — одно из самых «дорогих» по времени во второй части. Строй график начисто, обязательно подписывай вершины, нули и выколотые точки — эксперт проверяет именно логику разбора случаев. Даже если не довёл до ответа, аккуратно построенный график и разбор части случаев приносят баллы.