Окружности и их элементы (Задание 24)
Это один из четырёх сюжетов задания 24 — и, пожалуй, самый узнаваемый: как только в условии появляется слово «окружность», «касательная» или «центр», ты почти наверняка попал именно в него. В конспекте по заданию 24 мы разобрали общий сценарий доказательства и приёмы «вписанный угол» и «окружность на диаметре». Здесь идём глубже и уже: собираем рабочий набор именно для окружностей — свойства радиусов, хорд, касательных и вписанного четырёхугольника.
Секрет этого подвида в том, что у окружности мало «деталей», но каждая несёт жёсткое свойство. Все радиусы равны — и это мгновенно даёт равнобедренные треугольники и серединные перпендикуляры. Касательная всегда перпендикулярна радиусу — и это раздаёт прямые углы там, где их, казалось бы, нет. Узнаёшь деталь — сразу выписываешь её свойство, и доказательство складывается почти само.
iЗАМЕЧАНИЕ
Чем этот подвид отличается внутри задания 24
В треугольниках и четырёхугольниках ты опираешься на признаки равенства и подобия. В окружностях главный источник фактов — сама окружность: равенство радиусов, перпендикулярность касательной и радиуса, свойства вписанных углов. Часто в задаче даже две окружности сразу (пересекающиеся или с общей касательной) — и связь между ними идёт через их центры и общие точки.
Рабочий набор свойств
ВАЖНОЕ
Все радиусы равны — отсюда серединный перпендикуляр
Любые два радиуса одной окружности равны. Если точки A и B лежат на окружности с центром O, то
OA=OB,то есть центр равноудалён от концов хорды AB и лежит на серединном перпендикуляре к ней. А если две окружности пересекаются, их центры оба равноудалены от общих точек — значит, линия центров перпендикулярна общей хорде и делит её пополам.
ВАЖНОЕ
Касательная перпендикулярна радиусу
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:
OK⊥t,∠OKt=90∘,где t — касательная, а K — точка касания. Это главный поставщик прямых углов в задачах про касательные: увидел точку касания — сразу проводи радиус и ставь 90∘.
ВАЖНОЕ
Вписанный угол и углы на одну дугу
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Отсюда — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (хорду), равны:
∠ACB=∠ADB,если C и D лежат по одну сторону от хорды AB. Обратно: если отрезок виден из двух точек по одну сторону под равными углами, все четыре точки лежат на одной окружности (подробнее — в конспекте типа).
ВАЖНОЕ
Вписанный четырёхугольник
Если четырёхугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны 180∘:
∠A+∠C=180∘,∠B+∠D=180∘.Верно и обратное: если суммы противоположных углов четырёхугольника равны 180∘, около него можно описать окружность.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Чего нет в справочных материалах
В выданном на экзамене листе есть длина окружности C=2πr, площадь круга S=πr2 и радиус описанной окружности через теорему синусов (2R). А вот свойства вписанного угла, «касательная ⊥ радиусу», признак вписанного четырёхугольника и равенство радиусов в справочные материалы НЕ входят — именно на них строятся доказательства, поэтому их держи в голове наизусть.
Как подступиться
АЛГОРИТМ
Алгоритм для задач про окружности
1. Крупный чертёж. Отметь центры, проведи все радиусы к нужным точкам, поставь штрихи равенства на радиусах.
2. Выпиши свойства деталей. Хорда → центр равноудалён от концов. Точка касания → радиус ⊥ касательной, прямой угол. Две точки на дуге → равные вписанные углы.
3. Опознай связку. Две окружности → работай через линию центров и общую хорду. Касательная → ищи прямые углы и подобие прямоугольных треугольников. Равные углы на отрезок → вписанный четырёхугольник.
4. Выстрой цепочку. Каждый шаг — ссылка на свойство: «радиусы равны», «касательная перпендикулярна радиусу», «вписанные углы на одну дугу».
5. Заверши. Полными фразами, в конце — «Что и требовалось доказать».
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Типовые ловушки
- Ответ — не число, а текст. В задании 24 не ищи цифру: результат — само доказательство. Пиши связными фразами и завершай «Что и требовалось доказать».
- Забытое «равноудалён». Написать OA=OB мало — надо явно сослаться: «центр лежит на серединном перпендикуляре, так как равноудалён от концов хорды».
- Касательная без радиуса. Прямой угол не появится сам — его даёт именно проведённый в точку касания радиус. Не забудь провести его и сослаться на перпендикулярность.
- Условие «по одну сторону». Для вписанных углов и обратной теоремы точки должны лежать по одну сторону от хорды — в выпуклом четырёхугольнике это так, но упомянуть обязательно.
iЗАМЕЧАНИЕ
Порог по геометрии
Помни: для отметки выше «двойки» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Задание 24 стоит ровно 2 балла, поэтому одно аккуратно доказанное утверждение целиком закрывает геометрический порог. Не пропускай его «на потом».
Разбор задач
ПРИМЕР 1
Линия центров и общая хорда
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.
ПРИМЕР 2
Общая касательная и подобие
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
ПРИМЕР 3
Вписанный четырёхугольник
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
Что запомнить
- Все радиусы равны. Это даёт равнобедренные треугольники и серединные перпендикуляры; для двух окружностей — линия центров ⊥ общей хорде.
- Касательная ⊥ радиусу в точке касания. Провёл радиус — получил прямой угол, дальше часто подобие прямоугольных треугольников.
- Углы на одну дугу равны; вписанный четырёхугольник → сумма противоположных углов 180∘.
- Каждый шаг — со ссылкой на свойство. Свойства окружности в справочный лист не входят — учи наизусть.
Отработка
Реши задачи этого типа в банке: Задание 24 — задачи на доказательство.
Тренируйся точечно по этой подтеме: Окружности и их элементы.