Окружности — ОГЭ

Окружности (Задание 25)

Внутри задания 25 подтема «Окружности» — про конфигурации, где главный герой не треугольник и не трапеция, а сама окружность: касательные, секущие, хорды и точки касания. Фигуры здесь часто «пустые» — почти без готовых треугольников, — поэтому ключ прячется не в подобии, а в двух-трёх свойствах именно окружности. Узнал свойство — задача сворачивается в короткое уравнение.

В нашем банке этого топика встречаются ровно две большие серии. Первая: окружность проходит через две точки прямой и касается другой прямой — тут работает свойство касательной и секущей. Вторая: две окружности касаются внешним образом, к ним проведены общие касательные — тут всё держится на симметрии относительно линии центров. Разберём обе.

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог отметки: геометрию нельзя пропустить

Во второй части ОГЭ три геометрические задачи (23, 24, 25). По критериям ФИПИ для отметки выше «2» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию — одной алгеброй проходной порог не закрыть. Задача 25 сложная, но даже частичные шаги в задачах 23–24 держат твою отметку выше тройки, а разбор №25 поднимает потолок до максимума.

Опорные свойства окружности

Учи их «на узнавание»: за какой формулировкой условия каждое всплывает.

ВАЖНОЕ

Касательная перпендикулярна радиусу

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

O T ⊥ ℓ, O T = r .

Это стартовое свойство почти всех задач: как только в условии есть «касается», сразу отмечай прямой угол между радиусом и касательной — появляется прямоугольный треугольник.

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной

ВАЖНОЕ

Свойство касательной и секущей (степень точки)

Из точки $A$ вне окружности проведены касательная $A T$ (в точку касания $T$ ) и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N .$ Тогда

A T^{2} = A M \cdot A N .

Это главный инструмент первой серии задач. В справочных материалах КИМ этой формулы нет — её надо знать наизусть.

ВАЖНОЕ

Две окружности, касающиеся внешне: общие касательные

Пусть окружности радиусов $r$ и $R$ касаются внешним образом, тогда расстояние между центрами $O_{1} O_{2} = R + r .$ К ним проведены две общие внешние касательные. Хорды, соединяющие точки касания на каждой окружности, перпендикулярны линии центров (по симметрии), поэтому они параллельны, а расстояние между ними равно

\frac{4 R r}{R + r} .

Синус угла $φ$ между касательной и линией центров: $sin φ = \frac{R - r}{R + r} .$ Эти факты в справочных материалах не выданы — их выводят из чертежа (см. пример 3).

iЗАМЕЧАНИЕ

Что реально выдадут на экзамене

Из нужного здесь — в справочных материалах КИМ есть теорема Пифагора, основное тождество $sin^{2} α + cos^{2} α = 1,$ таблица значений синуса и косинуса и теорема синусов. А вот свойства касательной, секущей и точки касания — нет: их держи в голове.

Как подступиться к задаче

АЛГОРИТМ

Алгоритм: окружность, касательные и секущие

1. Сделай крупный чертёж и в каждой точке касания сразу проведи радиус — отметь прямой угол с касательной.
2. Опознай серию. «Окружность через две точки прямой и касается прямой» → степень точки $A T^{2} = A M \cdot A N .$ «Две окружности касаются, общие касательные» → симметрия относительно линии центров.
3. Найди прямоугольные треугольники из радиусов-перпендикуляров и опусти перпендикуляр из центра на хорду — он делит хорду пополам.
4. Свяжи величины уравнением через степень точки, проекции или теорему Пифагора. Часто лишнее сокращается.
5. Доведи до числа и проверь. Радиус и длины положительны, ответ соразмерен данным. Каждый шаг обоснуй — эксперт оценивает логику.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые потери баллов на ОГЭ

Нет обоснования. «Из чертежа видно» баллов не даёт. Перпендикулярность радиуса к касательной, равенство $A T^{2} = A M \cdot A N$ — ссылайся на свойство или теорему.
Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам — этим часто забывают воспользоваться, а именно он даёт середину хорды $M N .$
Формат ответа. Иррациональный ответ ( $415,$ $112$ ) оставляй как есть, не округляй без требования. Десятичный — через запятую: $19, 5,$ не «19.5».
Направление проекции. Точка касания может проецироваться на линию центров как внутрь отрезка, так и за его конец — следи по чертежу, иначе перепутаешь знак и получишь неверную длину.

Разобранные примеры

От одной окружности с касательной к паре окружностей — от одного свойства к связке.

ПРИМЕР 1

Окружность через две точки, касающаяся луча

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $A C$ треугольника $A B C$ на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины $A .$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $A B,$ если $cos ∠ B A C = \frac{15}{4} .$

Окружность через M и N, касающаяся луча AB

ПРИМЕР 2

Окружность в трапеции: касательная и секущая

В трапеции $A B C D$ основания $A D$ и $B C$ равны соответственно 48 и 24, а сумма углов при основании $A D$ равна $9 0^{\circ} .$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $C D,$ если $A B = 13 .$

Окружность через A и B, касающаяся прямой CD

ПРИМЕР 3

Две окружности и общие касательные

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $A C$ и $B D$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $C D .$

Две окружности радиусов 36 и 45 с общими касательными

Отработка

Эти задачи решаются «на узнавание серии»: набей руку на распознавании касательной-секущей и симметрии двух окружностей.

Подборка по топику: Окружности (Задание 25).
Все задачи задания: банк задания 25.

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Бери задание 25 последним, когда вся первая часть уже перенесена в бланк. Даже без полного решения запиши чертёж, отметь радиусы в точках касания и хотя бы одно доказанное равенство ( $A T^{2} = A M \cdot A N$ или перпендикулярность хорд линии центров): за верные шаги дают частичные баллы, а они держат отметку выше тройки.