Окружности — ОГЭ

Окружности (Задание 23)

В конспекте по всему заданию 23 мы прошлись по четырём сюжетам — треугольники, четырёхугольники, углы и окружности. Здесь разберём окружности подробно: это тот сюжет, где условие выглядит непривычно («хорда», «касается луча», «окружность с диаметром $B H$ »), а решение почти всегда сводится к обычному прямоугольному треугольнику.

Главная мысль темы простая. Сама по себе окружность — кривая линия, считать по ней нечего. Поэтому в любой задаче ты достраиваешь отрезки, которые превращают окружность в прямые линии: радиус, перпендикуляр из центра, диаметр. Каждый такой отрезок приносит прямой угол или равенство длин — и дальше работает обычная планиметрия.

Всего рабочих приёмов четыре:

Перпендикуляр из центра к хорде — делит хорду пополам и даёт прямоугольный треугольник с гипотенузой $R .$
Радиус в точку касания — перпендикулярен касательной, снова прямой угол.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $9 0^{\circ}$ — прямой угол «из воздуха».
Касательная и секущая из одной точки — $A T^{2} = A M \cdot A N,$ приём для самых сложных вариантов.

Приём 1. Перпендикуляр из центра к хорде

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Если опустить на неё перпендикуляр из центра, получится равнобедренный треугольник $O A B$ (обе боковые стороны — радиусы), а перпендикуляр в равнобедренном треугольнике из вершины к основанию — ещё и медиана. Отсюда главный факт.

ВАЖНОЕ

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам

Пусть $A B$ — хорда окружности с центром $O$ и радиусом $R,$ а $O M ⊥ A B .$ Тогда $M$ — середина $A B,$ треугольник $O M A$ прямоугольный, и

R^{2} = O M^{2} + (\frac{A B}{2})^{2} .

Здесь $O M$ — это и есть расстояние от центра до хорды.

Окружность с центром O, хорда AB и перпендикуляр OM к ней

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула работает в обе стороны

Из этого равенства достаётся любая из трёх величин: радиус по хорде и расстоянию, расстояние по радиусу и хорде, длина хорды по радиусу и расстоянию. В задачах ОГЭ обычно дают две хорды: по первой находишь $R,$ по $R$ — ответ про вторую.

✓СОВЕТ

Быстрая проверка ответа

Чем длиннее хорда, тем ближе она к центру (в пределе самая длинная хорда — диаметр — проходит через центр). Получил, что хорда длиной 40 лежит дальше от центра, чем хорда длиной 30, — где-то арифметическая ошибка.

Приём 2. Радиус в точку касания

Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Слово «касается» в условии — это готовый прямой угол, надо только провести радиус.

ВАЖНОЕ

Свойство касательной

Если прямая касается окружности в точке $T,$ то радиус $O T$ перпендикулярен этой прямой:

O T ⊥ касательной .

Кроме того, два отрезка касательных, проведённых к окружности из одной точки $A,$ равны: $A T_{1} = A T_{2},$ а прямая $A O$ делит угол между ними пополам.

Окружность с двумя касательными из внешней точки A и радиусами в точки касания

✓СОВЕТ

Как это выглядит в задаче

Формулировки-маркеры: «касается прямой $A B$ в точке $B$ », «касается луча $A B$ », «вписанная окружность касается стороны». Реакция всегда одна — проведи радиус в точку касания и отметь прямой угол. Дальше в получившемся прямоугольном треугольнике работает теорема Пифагора, а неизвестный радиус $R$ становится обычной буквой в уравнении.

Приём 3. Вписанный угол и диаметр

ВАЖНОЕ

Вписанный угол

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ A O C .

Отсюда два следствия, которые и решают задачи:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой;
вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $9 0^{\circ} .$

Второе следствие работает и в обратную сторону: если из точки $P$ отрезок $B H$ виден под прямым углом, то $P$ лежит на окружности с диаметром $B H .$ Именно так в условии появляется странная на первый взгляд фраза «окружность с диаметром $B H$ пересекает стороны в точках $P$ и $K$ »: на самом деле это способ сказать «из точек $P$ и $K$ опущены перпендикуляры».

iЗАМЕЧАНИЕ

Чего в справочных материалах нет

Свойства хорд, касательных и вписанных углов в справочный лист не входят — их надо знать наизусть. В листе, который выдадут на экзамене, из «окружного» есть только длина окружности $C = 2 π R,$ площадь круга $S = π R^{2}$ и радиусы описанной и вписанной окружностей правильного треугольника (для остальных правильных многоугольников формул в листе нет). Зато там же лежат теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов — а именно они чаще всего и работают в связке с окружностью.

Приём 4. Касательная и секущая

Этот приём встречается реже и в самых трудных вариантах задания 23, но без него такие задачи не решаются вовсе.

ВАЖНОЕ

Квадрат касательной

Пусть из точки $A$ вне окружности проведены касательная $A T$ ( $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N$ (точка $M$ ближе к $A$ ). Тогда

A T^{2} = A M \cdot A N .

Родственный факт для двух пересекающихся внутри окружности хорд $A B$ и $C D$ с точкой пересечения $K :$

A K \cdot K B = C K \cdot K D .

Из точки A проведены касательная AT и секущая, пересекающая окружность в точках M и N

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не путай отрезки в произведении

В равенстве $A T^{2} = A M \cdot A N$ участвует вся секущая $A N$ и её внешняя часть $A M,$ а не хорда $M N .$ Если в условии даны расстояния от $A$ до обеих точек (например, 9 и 32), то $A M = 9,$ $A N = 32,$ а длина хорды $M N = 32 - 9 = 23$ — её в формулу подставлять нельзя.

Как решать

АЛГОРИТМ

Алгоритм для задачи про окружность

1. Перерисуй чертёж и отметь центр $O .$ Даже если центр в условии не упомянут — он всё равно понадобится.
2. Проведи «полезные» отрезки. Есть хорда — опусти на неё перпендикуляр из центра. Есть касательная — проведи радиус в точку касания. Есть диаметр — соедини его концы с точкой на окружности.
3. Найди прямоугольный треугольник. После шага 2 он почти наверняка появился: гипотенузой обычно служит радиус или отрезок от центра до внешней точки.
4. Обозначь неизвестный радиус буквой $R$ (или $r$ ) и выпиши всё остальное через него. Например, если центр лежит на отрезке $A C$ и окружность проходит через $C,$ то $A O = A C - R .$
5. Составь уравнение — теорема Пифагора, свойство касательной и секущей или теорема синусов — и реши его.
6. Проверь на здравый смысл (радиус положителен, расстояние от центра до хорды меньше $R,$ хорда не длиннее диаметра) и запиши: «Ответ: …».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр. Не отрезок от центра до конца хорды (он равен $R$ ) и не половина радиуса.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — радиус. Значит, расстояние до хорды ищем вычитанием: $O M = R^{2} - (\frac{A B}{2})^{2} .$
Половина хорды, а не вся хорда. Самая частая арифметическая потеря: подставили $48$ вместо $24 .$
Спрашивают радиус или диаметр? В задачах про касание нередко просят именно диаметр — не забудь умножить найденное на 2.
Ответ — только число, запятая как разделитель: $5, 25,$ а не $5.25$ и не $\frac{21}{4} .$
Баллы дают за обоснование. Фразы «радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной» и «перпендикуляр из центра делит хорду пополам» надо писать словами — без них решение неполное. Голый ответ = 0 баллов.

Разбор задач из банка

ПРИМЕР 1

Две хорды одной окружности

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D,$ если $A B = 30,$ $C D = 40,$ а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно $20 .$

ПРИМЕР 2

Центр окружности на стороне треугольника

Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A B C$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B .$ Найдите диаметр окружности, если $A B = 9,$ $A C = 12 .$

Треугольник ABC с окружностью, центр которой лежит на стороне AC

ПРИМЕР 3

Окружность, построенная на высоте как на диаметре

Точка $H$ является основанием высоты $B H,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C .$ Окружность с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $B H,$ если $P K = 12 .$

ПРИМЕР 4

Касательная и секущая (повышенный уровень)

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $A C$ треугольника $A B C$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A .$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $A B,$ если $cos ∠ B A C = \frac{2 2}{3} .$

Что запомнить

Окружность считать нельзя — считай отрезки: радиус, перпендикуляр из центра, диаметр.
Хорда $\to$ перпендикуляр из центра делит её пополам $\to$ прямоугольный треугольник с гипотенузой $R :$ $R^{2} = d^{2} + (\frac{a}{2})^{2} .$
Слово «касается» $\to$ радиус в точку касания перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки равны.
Диаметр $\to$ вписанный угол, опирающийся на него, равен $9 0^{\circ} .$
Точка вне окружности с касательной и секущей $\to$ $A T^{2} = A M \cdot A N .$
Свойств хорд, касательных и вписанных углов в справочном листе нет — из «окружного» там только $C = 2 π R,$ $S = π R^{2}$ и радиусы для правильного треугольника; остальное держи в голове.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Подборка именно по окружностям — коллекция «Окружности».