Окружность, вписанная в многоугольник — ОГЭ

Окружность, вписанная в многоугольник (Задание 16)

Это один из подвидов задания 16 — того самого, где на чертеже окружность и надо найти длину, радиус или площадь. Здесь окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. Ключевое отличие от «описанной» окружности: вписанная трогает стороны, а не проходит через вершины. Поэтому и работают тут другие факты — не про углы на дугу, а про касание сторон и про то, где сидит центр.

Хорошая новость: почти все задачи этого подвида сводятся к 3-4 конфигурациям — треугольник, квадрат, ромб и «описанный четырёхугольник». Узнал конфигурацию — вспомнил один факт — посчитал. Разберём каждую.

iЗАМЕЧАНИЕ

Главное свойство вписанной окружности

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника и равноудалён от всех сторон. Это расстояние и есть радиус $r .$ А значит: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне — почти в каждой задаче ты будешь опускать этот перпендикуляр и получать прямоугольный треугольник.

Окружность, вписанная в треугольник: центр в пересечении биссектрис, радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам

Треугольник: площадь через радиус

Самая частая формула этого подвида связывает площадь треугольника с радиусом вписанной окружности и полупериметром (половиной периметра).

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника через вписанную окружность

S = p \cdot r, p = \frac{P}{2}

где $S$ — площадь треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр (половина периметра $P$ ).

Почему так: соедини центр $O$ с вершинами — треугольник разобьётся на три маленьких, у каждого высота равна $r$ (радиус до стороны). Сложив их площади, получишь $S = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} cr = \frac{1}{2} (a + b + c) r = p r .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этой формулы НЕТ в справочных материалах

Формула $S = p \cdot r$ в выданный на экзамене лист не входит — её надо знать наизусть. А вот обычные формулы площади треугольника ( $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ и $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ ) и теорема Пифагора в справочных материалах есть — уметь ими пользоваться достаточно.

Четырёхугольник, описанный около окружности

Если окружность вписана в четырёхугольник (то есть четырёхугольник описан около неё), работает красивое равенство сумм противоположных сторон.

ВАЖНОЕ

Свойство описанного четырёхугольника

A B + C D = B C + A D

Суммы противоположных сторон равны. Это следствие того, что два отрезка касательных из одной вершины равны между собой.

Четырёхугольник, описанный около окружности; отрезки касательных из каждой вершины равны

Это свойство в справочных материалах КИМ не приводится — запоминай.

Квадрат и правильный треугольник

ВАЖНОЕ

Окружность, вписанная в квадрат

a = 2 r

Окружность касается всех четырёх сторон квадрата, поэтому сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Отсюда площадь: $S = a^{2} = (2 r)^{2} = 4 r^{2} .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на вписанную окружность

1. Опознай фигуру. Треугольник, квадрат, ромб или произвольный четырёхугольник — от этого зависит нужный факт.
2. Выбери свойство. Треугольник — $S = p \cdot r;$ описанный четырёхугольник — суммы противоположных сторон равны; квадрат — $a = 2 r .$
3. Дострой прямоугольный треугольник. В ромбе и произвольной фигуре проведи радиус в точку касания (он $⊥$ стороне) — получишь прямой угол и сможешь применить теорему Пифагора или тангенс.
4. Посчитай и проверь формат ответа — целое число или десятичная дробь через запятую.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Частые ошибки именно в этом подвиде

Полупериметр, а не периметр. В формуле $S = p \cdot r$ стоит именно $p = P /2 .$ Подставишь весь периметр — ответ вдвое больше.
Лишние данные. В задаче про треугольник часто дают одну сторону — для формулы $S = p \cdot r$ она не нужна, это отвлекающее число. Не пытайся её пристроить.
Радиус, а не диаметр. Для квадрата сторона равна диаметру $2 r;$ в формулы площади идёт радиус $r .$
Десятичный ответ — через запятую: пиши $2, 4,$ а не 2.4. Единицы измерения в бланк не пишут.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и вторая часть). Задание 16 — один из самых лёгких геометрических баллов, поэтому его пропускать нельзя.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Треугольник: площадь через радиус

Периметр треугольника равен $56,$ одна из сторон равна $19,$ а радиус вписанной в него окружности равен $5 .$ Найдите площадь этого треугольника.

ПРИМЕР 2

Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник $A B C D$ описан около окружности, $A B = 6,$ $B C = 8,$ $C D = 11 .$ Найдите $A D .$

Четырёхугольник ABCD, описанный около окружности

ПРИМЕР 3

Окружность, вписанная в ромб

Диагональ $A C$ ромба $A B C D$ равна $8,$ а $t g ∠ B C A = 0, 75 .$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ромб ABCD с вписанной окружностью и проведённой диагональю AC

Что запомнить

Центр вписанной окружности — пересечение биссектрис, равноудалён от сторон; радиус в точку касания $⊥$ стороне.
Треугольник: $S = p \cdot r$ (полупериметр!) — этой формулы в справочном листе нет.
Описанный четырёхугольник: $A B + C D = B C + A D$ — тоже учить наизусть.
Квадрат: $a = 2 r .$ Ромб и общий случай: опусти радиус в точку касания и работай прямоугольным треугольником (теорема Пифагора и площади фигур — в справочном листе есть).

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задачи типа 16.

Целевая подборка именно по вписанной окружности: Окружность, вписанная в многоугольник.

Цель — довести до автоматизма выбор факта: увидел треугольник с радиусом — вспомнил $S = p \cdot r;$ увидел четырёхугольник вокруг окружности — сложил противоположные стороны; увидел ромб — опустил радиус в точку касания. Тогда этот балл будет твоим за минуту.