Окружность, описанная вокруг многоугольника

Окружность, описанная вокруг многоугольника (Задание 16)

Это один из четырёх подвидов задания 16. В конспекте типа мы уже собрали все свойства окружности — здесь идём вглубь только одной темы: описанной окружности, то есть той, что проходит через все вершины фигуры.

Отличить этот подвид легко по формулировке: в условии почти всегда есть слова «окружность, описанная около треугольника (четырёхугольника)», или наоборот — «многоугольник, вписанный в окружность». Это одно и то же: если фигуру описали окружностью, то фигура вписана в неё. Все вершины лежат на окружности — и вокруг этого крутится всё решение.

Ключевые факты этого подвида

Почти все задачи решаются одним из трёх приёмов ниже. Узнай на чертеже конфигурацию — и сразу видно, что применять.

ВАЖНОЕ

Диагональ прямоугольника — это диаметр

Если прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ проходит через центр и равна диаметру:

$$\text{диагональ}=2R.$$

Причина: угол прямоугольника равен $90^{\circ }\text{,}$ а прямой вписанный угол всегда опирается на диаметр.

ВАЖНОЕ

Центр на стороне треугольника → прямой угол

Если центр описанной около треугольника $ABC$ окружности лежит на стороне $AB\text{,}$ то $AB$ — диаметр. Тогда угол напротив, $\angle ACB\text{,}$ опирается на диаметр и равен $90^{\circ }\text{:}$

$$AB=2R,\angle ACB=90^{\circ }.$$

Треугольник становится прямоугольным — дальше работают сумма углов и теорема Пифагора.

iЗАМЕЧАНИЕ

Вписанный четырёхугольник — не в справочном листе

Свойство «сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }$» ($\angle A+\angle C=180^{\circ }$) в справочных материалах не приводится — это теорема, её надо знать наизусть.

Алгоритм решения

Типовые ловушки

Примеры решения задач

Три задачи ниже покрывают три главных приёма: центр на стороне (Пифагор), вписанный четырёхугольник и теорема синусов.

ПРИМЕР 1

Центр описанной окружности на стороне

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ лежит на стороне $AB\text{.}$ Радиус окружности равен $6,5\text{.}$ Найдите $AC\text{,}$ если $BC=12\text{.}$

Что запомнить

• Описанная окружность проходит через все вершины; её центр — на пересечении серединных перпендикуляров, равноудалён от вершин.

• Прямоугольник: диагональ $=2R\text{.}$ Центр на стороне треугольника: противолежащий угол $=90^{\circ }$ (дальше — Пифагор или сумма углов).

• Вписанный четырёхугольник: $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ (этой формулы в справочном листе нет — учи наизусть).

• Из справочного листа: теорема синусов ($\frac{a}{\sin A}=2R$), теорема Пифагора, формулы правильного треугольника.

Отработка

Прорешай задачи этого подвида в подборке: окружность, описанная около многоугольника.

Все задачи типа сразу: задачи типа 16.

Цель — довести узнавание конфигураций до автоматизма: увидел «центр на стороне» — сразу рисуешь прямой угол; увидел вписанный четырёхугольник — вспоминаешь про $180^{\circ }\text{.}$ Тогда этот подвид задания 16 будет приносить стабильный балл меньше чем за минуту.