Действия с обыкновенными и десятичными дробями — ОГЭ

Действия с обыкновенными и десятичными дробями (Задание 6)

Внутри задания 6 есть три подвида, и этот — самый «взрослый». Здесь в одном выражении встречаются обе формы записи: обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$ и десятичная вроде $0, 9 .$ Иногда они стоят рядом (например, $\frac{3}{4} + 0, 2$ ), а иногда десятичные числа спрятаны прямо внутри дробной черты — как в $\frac{8 , 1}{0 , 9} .$ Отдельных «правил для смешанных выражений» не существует: весь фокус в том, чтобы привести всё к одной удобной форме и дальше считать по обычным правилам дробей.

Главный навык этого подвида — не арифметика, а выбор: перевести всё в десятичные или всё в обыкновенные. Один и тот же пример решается двумя дорогами, и обе приводят к одному ответу — важно выбрать ту, где меньше шансов ошибиться.

iЗАМЕЧАНИЕ

Две формы — это одно и то же число

Десятичная дробь — это обыкновенная со знаменателем $10,$ $100,$ $1000 :$ $0, 9 = \frac{9}{10},$ $1, 26 = \frac{126}{100} .$ Поэтому любое смешанное выражение всегда можно переписать целиком в одной форме — число от этого не меняется.

Выбор формы: две дороги

ВАЖНОЕ

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Убираем запятую, в знаменатель ставим $10,$ $100,$ $1000$ — столько нулей, сколько знаков после запятой:

0, 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} 0, 75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}

ВАЖНОЕ

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Домножаем числитель и знаменатель так, чтобы в знаменателе стало $10,$ $100$ или $1000 :$

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0, 75 \frac{31}{50} = \frac{62}{100} = 0, 62

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этих правил нет в справочных материалах

На листе «Справочные материалы» ОГЭ есть формулы корней, ФСУ, прогрессии, теорема Пифагора, площади — но правил действий с дробями и перевода одной формы в другую там нет. Сверился со справочником: этот подвид держится только на том, что ты знаешь наизусть.

Какую дорогу выбрать

✓СОВЕТ

Простое правило выбора

Обыкновенная дробь переводится в конечную десятичную, только если её знаменатель после сокращения состоит из множителей $2$ и $5 :$ $\frac{3}{4},$ $\frac{7}{20},$ $\frac{9}{50}$ — переводятся; $\frac{1}{3},$ $\frac{2}{7}$ — нет.
Если хоть одна дробь «плохо» переводится — веди всё в обыкновенные.
Если все дроби переводятся легко — считай в десятичных, так быстрее.
Десятичные под дробной чертой ( $\frac{8 , 1}{0 , 9}$ ) сначала избавь от запятых: домножь числитель и знаменатель на $10$ (или $100$ ).

АЛГОРИТМ

Алгоритм для смешанного выражения

1. Осмотри все числа: где обыкновенные дроби, где десятичные.
2. Выбери одну форму (см. правило выше) и переведи в неё все числа.
3. Выполни действия по правилам дробей: приведение к общему знаменателю для $+$ и $-;$ «крест-накрест» сокращение для $\times$ и $: .$
4. Сократи результат.
5. Переведи ответ в десятичную дробь, если это возможно — на ОГЭ его чаще так и вписывают.

Ловушки этого подвида

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Частые ошибки именно здесь

Не переводи «на глаз». $\frac{1}{5} \neq = 0, 15$ — это $0, 2 .$ Проверяй переводом через знаменатель $10$ / $100 .$
Знак минус — часть ответа. Если из меньшего вычитают большее, результат отрицательный: пиши -0,62, а не 0,62.
Запятая под запятой. Складывая десятичные, ставь разряд под разрядом; $9, 8 + 8, 6 = 18, 4,$ а не $17, 14 .$
Формат ответа. Только число, без пробелов и единиц. Десятичную — через запятую: 1,26, не 1.26.
Прикидка. $\frac{8 , 1}{0 , 9}$ — это «сколько раз $0, 9$ помещается в $8, 1$ », примерно $9 .$ Если вышло $0, 9$ или $90$ — потеряна запятая.

Примеры

Три разбора показывают обе дороги: десятичные под дробной чертой и обыкновенные дроби с ответом-десятичной.

ПРИМЕР 1

Десятичные под дробной чертой

Найдите значение выражения $\frac{8 , 1}{0 , 9} .$

ПРИМЕР 2

Обыкновенные дроби, ответ — десятичная

Найдите значение выражения $\frac{1}{5} - \frac{41}{50} .$

ПРИМЕР 3

Ещё раз обыкновенные с переводом

Найдите значение выражения $\frac{1}{5} - \frac{27}{20} .$

Отработка

Закрепи навык выбора формы на подборке задач:

Коллекция топика «Действия с обыкновенными и десятичными дробями»
Все задачи типа 6 «Числа и вычисления»