Задание 6: Числа и вычисления — ОГЭ

Числа и вычисления (Задание 6)

Задание 6 открывает алгебраическую часть варианта ОГЭ. Тебе дают одно короткое числовое выражение — сложить, вычесть, умножить или разделить дроби — и просят найти его значение. Никаких букв, уравнений и графиков: чистая арифметика с обыкновенными и десятичными дробями. Это один из самых надёжных баллов во всём экзамене, и терять его из-за спешки обидно.

Вся тема держится на трёх сюжетах, и по ним же разбиты подтемы этого задания:

Действия с обыкновенными дробями — сложение, вычитание, умножение и деление вида $\frac{a}{b};$
Действия с десятичными дробями — примеры вроде $6, 9 + 7, 4,$ где важно не потерять запятую;
Действия с обыкновенными и десятичными дробями — смешанные выражения, где часть чисел удобно перевести из одной формы в другую.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этих правил НЕТ в справочных материалах

На листе «Справочные материалы» ОГЭ есть таблица квадратов, формулы корней квадратного уравнения, формулы сокращённого умножения, прогрессии, теорема Пифагора, площади и окружность — но правил действий с дробями там нет. Их нужно знать наизусть: подсмотреть на экзамене не получится.

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь — это запись $\frac{a}{b},$ где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель. Все четыре действия сводятся к нескольким жёстким правилам.

ВАЖНОЕ

Сложение и вычитание дробей

Приводим к общему знаменателю, потом складываем (вычитаем) только числители:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

ВАЖНОЕ

Умножение дробей

Числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

ВАЖНОЕ

Деление дробей

Деление заменяем умножением на «перевёрнутую» (обратную) дробь:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

✓СОВЕТ

Сокращай до умножения, а не после

Перед умножением дробей ищи общие множители «крест-накрест»: если числитель одной дроби и знаменатель другой делятся на одно число — сократи их сразу. Считать $\frac{14}{5} \cdot \frac{2}{7}$ через сокращение $14$ и $7$ на $7$ куда быстрее, чем перемножать $28$ и $35,$ а потом искать НОД.

Десятичные дроби

Десятичная дробь — это та же обыкновенная дробь, но со знаменателем $10,$ $100,$ $1000 :$ например, $6, 8 = \frac{68}{10} .$ Складывают и вычитают их «в столбик», выравнивая по запятой.

АЛГОРИТМ

Сложение и вычитание десятичных дробей

1. Запиши числа в столбик так, чтобы запятая была строго под запятой (разряд под разрядом).
2. При необходимости допиши нули справа, чтобы дробные части были одинаковой длины.
3. Складывай (вычитай) как обычные числа, не глядя на запятую.
4. В ответе поставь запятую ровно под запятыми исходных чисел.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак разности: не тот порядок

Если из меньшего числа вычитают большее, результат отрицательный. В выражении $3, 6 - 4, 1$ уменьшаемое меньше вычитаемого, поэтому ответ будет со знаком минус: сначала находят разность модулей $4, 1 - 3, 6 = 0, 5,$ затем ставят минус. Ответ $- 0, 5,$ а не $0, 5 .$

Обыкновенные и десятичные вместе

Если в одном выражении встретились обе формы, приведи их к удобному виду. Чаще всего ответ ОГЭ — это десятичная дробь, поэтому обыкновенную дробь в конце переводят в десятичную: домножают числитель и знаменатель так, чтобы в знаменателе получилось $10,$ $100$ или $1000 .$

ВАЖНОЕ

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0, 8 \frac{63}{50} = \frac{63 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{126}{100} = 1, 26

✓СОВЕТ

Куда двигать запятую

Делить на $10$ — сдвинуть запятую на один знак влево, на $100$ — на два, на $1000$ — на три. $\frac{126}{100} = 1, 26 :$ два нуля в знаменателе — два знака после запятой.

Как записать ответ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа ОГЭ

Ответ вписывают без пробелов и единиц измерения — просто число.
Десятичную дробь пишут через запятую: 14,3, а не 14.3.
В задании 6 ответ — всегда целое число или конечная десятичная дробь: примеры подобраны так, что деление нацело завершается. Если после сокращения осталась обыкновенная дробь — переведи её в десятичную, доведи вычисление до конца.
Минус — часть ответа: -0,5 записывают со знаком.

Примеры

Три разбора ниже покрывают все три подтемы: десятичные, обыкновенные и смешанное выражение.

ПРИМЕР 1

Разность десятичных дробей

Найдите значение выражения $3, 6 - 4, 1 .$

ПРИМЕР 2

Деление обыкновенных дробей

Найдите значение выражения $\frac{14}{5} : \frac{7}{2} .$

ПРИМЕР 3

Обыкновенные дроби с ответом-десятичной

Найдите значение выражения $\frac{1}{5} + \frac{53}{50} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Как не потерять этот балл

Время: 1-2 минуты. Задание базовое — реши его в начале варианта, на свежую голову.
Проверь запятую и знак. Две самые частые потери балла в задании 6 — сдвинутая запятая и потерянный минус.
Прикидка. Результат $6, 9 + 7, 4$ должен быть чуть больше $14;$ если вышло $1, 43$ или $143$ — где-то потеряна запятая.
Доводи до десятичной. Если после сокращения получилась обыкновенная дробь, переведи её в десятичную — так ответ проще и вписать, и проверить.

Отработка

Закрепи навык на подборке задач банка этого типа:

Все задачи типа 6 «Числа и вычисления»
Коллекция топика «Действия с обыкновенными дробями»
Коллекция топика «Действия с десятичными дробями»
Коллекция топика «Действия с обыкновенными и десятичными дробями»