Действия с обыкновенными дробями — ОГЭ

Действия с обыкновенными дробями (Задание 6)

Внутри задания 6 это самый «правиловый» подвид: тебе дают выражение из обыкновенных дробей вида $\frac{a}{b}$ — сложить, вычесть, умножить или разделить — и просят найти значение. Здесь нет запятых, как у десятичных, зато есть общий знаменатель, сокращение и «перевёрнутая» дробь при делении. Хорошая новость: цифры в ОГЭ подобраны мелкие, всё считается в уме или в столбик за минуту. Плохая — ответ почти всегда просят в виде десятичной дроби, поэтому в конце обыкновенную дробь нужно уметь довести до десятичной.

Разберём каждое из четырёх действий по отдельности, а потом соберём алгоритм и потренируемся на задачах из нашего банка.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Правил действий с дробями в справочных материалах КИМ НЕТ

На листе «Справочные материалы» ОГЭ есть таблица квадратов, формулы корней, ФСУ, прогрессии, теорема Пифагора, площади и окружность — но как складывать и делить дроби, там не написано. Эти правила нужно знать наизусть: подсмотреть на экзамене не выйдет.

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковым знаменателем — тогда действие идёт по числителям, а знаменатель остаётся общим.

ВАЖНОЕ

Сложение и вычитание дробей

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

Если знаменатели разные, сначала приводят дроби к общему знаменателю. В ОГЭ один знаменатель обычно кратен другому: $5$ и $10,$ $5$ и $20,$ $2$ и $10$ — тогда меньшую дробь домножают до большего знаменателя, а большую не трогают.

✓СОВЕТ

Общий знаменатель ищи самый маленький

Не перемножай знаменатели вслепую. Для $\frac{1}{5}$ и $\frac{27}{20}$ общий знаменатель — это $20$ (потому что $20$ делится на $5$ ), а не $100 .$ Чем меньше знаменатель, тем меньше цифры и меньше шансов ошибиться.

Умножение

Самое простое действие: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Общий знаменатель искать НЕ нужно.

ВАЖНОЕ

Умножение дробей

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Сокращение крест-накрест перед умножением

✓СОВЕТ

Сокращай ДО умножения, а не после

Ищи общий множитель у числителя одной дроби и знаменателя другой — и дели их сразу. В $\frac{7}{5} \cdot \frac{12}{35}$ число $7$ сокращается с $35$ (это $7 \cdot 5$ ). Так ты работаешь с маленькими числами $12$ и $25,$ а не перемножаешь $84$ и $175,$ а потом ищешь, на что их сократить.

Деление

Деление сводится к умножению: делимое оставляем, а делитель переворачиваем (меняем местами числитель и знаменатель) и меняем знак деления на умножение.

ВАЖНОЕ

Деление дробей

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Замена деления умножением на обратную дробь

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Переворачивают ТОЛЬКО делитель

Меняют местами числитель и знаменатель у второй дроби (той, на которую делят). Первую дробь трогать нельзя. Частая ошибка — перевернуть обе или перевернуть первую.

Довести ответ до десятичной дроби

Ответ в задании 6 — целое число или конечная десятичная дробь. Если после всех действий осталась обыкновенная дробь, переведи её в десятичную: домножь числитель и знаменатель так, чтобы в знаменателе стало $10,$ $100$ или $1000 .$

ВАЖНОЕ

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

\frac{35}{4} = \frac{35 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{875}{100} = 8, 75 \frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 0, 48

✓СОВЕТ

Числа-помощники для знаменателя

$2 \to$ домножь на $5,$ $4 \to$ на $25,$ $5 \to$ на $2,$ $20 \to$ на $5,$ $25 \to$ на $4,$ $50 \to$ на $2$ — и в знаменателе получится $10$ или $100 .$ Сколько нулей в знаменателе — столько знаков после запятой: $\frac{48}{100} = 0, 48 .$

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как считать выражение с обыкновенными дробями

1. Определи действие: $+,$ $-,$ $\cdot$ или $: .$
2. Деление сразу замени умножением на перевёрнутый делитель.
3. Для $+$ и $-$ приведи к наименьшему общему знаменателю, действуй по числителям.
4. Для $\cdot$ сократи «крест-накрест» до умножения, потом перемножь.
5. Сократи результат и переведи его в десятичную дробь.
6. Проверь знак: если из меньшего вычитали большее — ответ отрицательный.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ — просто число, без единиц и пробелов.
Десятичную дробь пиши через запятую: 8,75, а не 8.75.
Минус — часть ответа: -1,15 записывают со знаком.
Не оставляй ответ обыкновенной дробью: 9/2 бланк не примет, нужно 4,5.

Примеры

ПРИМЕР 1

Умножение с сокращением

Найдите значение выражения $\frac{7}{5} \cdot \frac{12}{35} .$

ПРИМЕР 2

Деление обыкновенных дробей

Найдите значение выражения $\frac{15}{4} : \frac{3}{7} .$

ПРИМЕР 3

Вычитание с отрицательным ответом

Найдите значение выражения $\frac{1}{5} - \frac{27}{20} .$

Отработка

Закрепи навык на подборке задач из банка:

Коллекция топика «Действия с обыкновенными дробями»
Все задачи типа 6 «Числа и вычисления»