Неравенства — ОГЭ

Неравенства (Задание 7)

Это самый «буквенный» подвид седьмого задания. Тебе не дают конкретных чисел — на координатной прямой просто отмечены две точки $a$ и $b,$ а под вариантами стоят неравенства вроде $a b^{2} < 0$ или $a + b > 0 .$ Нужно выбрать то, которое верно при таком расположении точек.

Здесь ничего не надо вычислять: ни делить дроби, ни оценивать корни (это соседние подтемы задания 7). Вся работа — прочитать с рисунка два факта про каждую букву (знак и модуль) и прогнать варианты через правила знаков. Ответ, как и во всём задании 7, — это номер варианта (одна цифра от 1 до 4), а не само неравенство.

Что снять с рисунка

С картинки всегда считываются ровно две вещи про каждую точку: с какой стороны от нуля она стоит (это её знак) и как далеко от нуля (это её модуль).

ВАЖНОЕ

Знак числа — это его сторона от нуля

точка левее 0 \Rightarrow a < 0, точка правее 0 \Rightarrow a > 0.

Чем дальше точка от нуля, тем больше её модуль. Сравни расстояния до нуля — так узнаешь, у кого модуль больше.

Числа a и b на координатной прямой со знаками и модулями

Правила знаков

Дальше всё решают три школьных правила про знак произведения и один факт про квадрат.

ВАЖНОЕ

Знак произведения и квадрат

(-) \cdot (-) = (+), (-) \cdot (+) = (-), (+) \cdot (+) = (+) .

Квадрат любого ненулевого числа положителен: $a^{2} > 0,$ $b^{2} > 0 .$

✓СОВЕТ

Квадратный множитель можно «убрать»

Раз $b^{2} > 0,$ множитель-квадрат знака произведения не меняет: знак у $a b^{2}$ такой же, как у $a,$ а знак у $a^{2} b$ такой же, как у $b .$ Поэтому $a b^{2}$ и $ab$ по знаку совпадают — квадрат тут ни на что не влияет.

Сумма и разность: решает модуль

Произведение разбирается легко. А вот у суммы $a + b$ разных знаков знак заранее не виден — его определяет большее по модулю слагаемое.

iЗАМЕЧАНИЕ

Как понять знак суммы

Если $a < 0,$ $b > 0$ и $∣ a ∣ > ∣ b ∣,$ то «перевешивает» отрицательное $a,$ поэтому $a + b < 0 .$ А разность всегда превращай в сумму: $b - a = b + (- a)$ — и смотри знаки уже двух слагаемых по отдельности.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Если модули с рисунка не сравнить — сумма не гарантирована

Иногда по картинке видно только знаки, а какая точка дальше от нуля — не ясно. Тогда знак суммы $a + b$ не определён однозначно, и такой вариант не может быть «всегда верным». Верный вариант тот, который выполняется при любом допустимом рисунке.

Алгоритм решения

Как решать этот подвид

1. Считай знаки. Точка левее нуля — число отрицательное, правее — положительное. Выпиши: $a ≷ 0,$ $b ≷ 0 .$
2. Сравни модули. Посмотри, какая точка дальше от нуля — у неё модуль больше. Запиши, например, $∣ a ∣ > ∣ b ∣ .$
3. Проверяй варианты по знакам. Квадратные множители ( $a^{2},$ $b^{2}$ ) положительны — убирай их. Разность переписывай как сумму с противоположным числом.
4. Сумму/разность разных знаков реши через больший модуль; если модули по рисунку не сравнить — вариант отбрасывай как негарантированный.
5. Запиши номер верного варианта — одну цифру, а не само неравенство.

Примеры

ПРИМЕР 1

a слева и дальше, b справа

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b .$

Точка a слева от нуля и дальше, точка b справа ближе к нулю

Какое из следующих неравенств верно?

1) $a b^{2} < 0$ 2) $b - a < 0$ 3) $ab > 0$ 4) $a + b > 0$

ПРИМЕР 2

b слева, a справа

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b .$

Точка b слева от нуля, точка a справа от нуля

Какое из следующих неравенств верно?

1) $a b^{2} > 0$ 2) $a - b < 0$ 3) $a + b > 0$ 4) $ab > 0$

Что запомнить

Сними с рисунка знак и модуль каждой буквы — на этом держится всё решение.
Квадратный множитель знака не меняет ( $b^{2} > 0$ ), а разность — это сумма с противоположным числом.
Знак суммы разных знаков решает больший модуль; если модули не сравнить — вариант негарантирован.
В ответ идёт номер варианта, одна цифра $1$ – $4 .$

Отработка

Закрепи навык на банке задач: все задачи типа 7.

Отдельная подборка этой подтемы: Неравенства.