Неравенства — ОГЭ

Неравенства (Задание 20)

В задании 20 неравенство — один из трёх сюжетов наравне с уравнением и системой, и попадается оно очень часто. Отличие от уравнения простое: там ты ищешь отдельные числа-корни, а здесь ответ — это промежуток (или их объединение) на числовой прямой. Почти всегда неравенство дробно-рациональное: где-то в нём есть буква в знаменателе. Из-за этого добавляются две вещи, которых в уравнении не было, — область допустимых значений (ОДЗ) и метод интервалов. Разберём их до автоматизма: сам разбор на множители ты уже видел в конспекте типа, здесь идём глубже именно в технику неравенств.

Главная мысль всего топика: никогда не умножай неравенство на выражение с буквой (например, на $x - 4$ ). Ты не знаешь его знак — а при умножении на отрицательное знак неравенства переворачивается. Поэтому всё переносим в одну часть, приводим к общей дроби и работаем со знаком этой дроби.

Что понадобится именно здесь

ВАЖНОЕ

Разложение квадратного трёхчлена

Если $a x^{2} + b x + c$ имеет корни $x_{1}$ и $x_{2},$ то

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Эта формула есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но раскладывать числитель на скобки надо мгновенно. Корни ищи через дискриминант (тоже в справочном листе) или подбором по Виета (а вот Виета в лист не входит).

ВАЖНОЕ

Разность квадратов

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Тоже есть в справочных материалах. Именно она превращает $x^{2} - 25$ в $(x - 5) (x + 5) .$

iЗАМЕЧАНИЕ

ОДЗ дробного неравенства

В дробно-рациональном неравенстве знаменатель не может равняться нулю. Прежде чем решать, выпиши запреты: например, для $\frac{\dots}{x - 4}$ сразу $x \neq = 4 .$ Эти точки на числовой прямой всегда выколотые — даже если неравенство нестрогое ( $⩽$ или $⩾$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак множителя чётной кратности

Простой множитель $(x - a)$ меняет знак выражения при переходе через свой ноль. А множитель в чётной степени, например $(x - 4)^{2},$ знак не меняет — он всегда $⩾ 0 .$ Из-за этого в ответе может появиться одна отдельная точка ${a} :$ там, где полный квадрат обнуляет всё выражение.

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать дробно-рациональное неравенство

1. Выпиши ОДЗ: приравняй знаменатель к нулю, эти $x$ запрещены — точки будут выколотыми.
2. Собери всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Ничего не умножай крест-накрест.
3. Приведи к одной дроби и разложи числитель и знаменатель на множители (ФСУ, разложение трёхчлена, вынесение общего множителя).
4. Отметь на прямой все нули числителя и знаменателя. Нули знаменателя — всегда выколотые; нули числителя — закрашенные при нестрогом знаке, выколотые при строгом.
5. Расставь знаки по промежуткам: подставь по одной пробной точке из каждого или иди справа налево, меняя знак на простых корнях (на чётных — не меняя).
6. Выбери промежутки с нужным знаком и запиши ответ. Скобка квадратная ] — точка входит, круглая ) — не входит.

✓СОВЕТ

Быстрый приём: постоянный числитель

Если числитель — просто число (например $- 13$ ), дробь никогда не равна нулю, и её знак целиком определяет знаменатель. Тогда неравенство сводится к одному условию на знак знаменателя — метод интервалов даже не нужен.

Разбор задач из банка

ПРИМЕР 1

Дробь со «спрятанным» сокращением

Решите неравенство $\frac{x ^{2} - 9 x + 20}{x - 4} ⩽ 0 .$

ПРИМЕР 2

Постоянный числитель

Решите неравенство $\frac{- 13}{( x - 4 ) ^{2} - 6} ⩾ 0 .$

ПРИМЕР 3

Полный квадрат и отдельная точка

Решите неравенство $(5 - x) (x^{2} - 25) ⩾ 0 .$

Что важно помнить

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Частые потери балла

Умножили на знаменатель — потеряли смену знака. Только перенос в одну часть.
Забыли выколоть точку ОДЗ. Даже при $⩽$ ноль знаменателя не входит.
Перепутали скобки. Строгий знак ( $<,$ $>$ ) — круглая; нестрогий ( $⩽,$ $⩾$ ) — квадратная у нулей числителя.
Потеряли отдельную точку от полного квадрата — ответ вида $\dots \cup {5}$ выглядит непривычно, но он верный.
Десятичные — через запятую: $4, 5,$ а не $4.5 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог отметки на ОГЭ

Задание 20 — алгебра, но помни про правило всего экзамена: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15-19 и 23-25). Одной алгеброй порог не закрыть — геометрию не пропускай, даже если неравенства даются легко.

Отработка

Закрепи тему на живых задачах банка:

Подборка по теме: коллекция «Неравенства»
Все задачи задания 20: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-20