Линейные уравнения — ОГЭ

Линейные уравнения (Задание 12)

Внутри задания 12 «Расчёты по формулам» есть два сюжета. В одном искомая буква стоит слева и одна — тогда достаточно подставить числа и посчитать. Здесь же, в подтеме «Линейные уравнения», всё чуть хитрее: нужная буква спрятана справа, внутри выражения. Подставить и сразу получить ответ не выйдет — сначала появляется уравнение, и его надо решить.

Хорошая новость: уравнение получается самое простое, какое бывает, — линейное. Искомая буква входит в него в первой степени (не под квадратом, не под корнем), и весь остаток условия превращается в два числа: «сколько раз буква» и «чему равно». Дальше — одно деление. Разберёмся, как в этот вид уравнение довести и как не потерять на нём балл.

iЗАМЕЧАНИЕ

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение относительно $x$ — это равенство, которое приводится к виду

a x = b,

где $a$ и $b$ — числа, а $a \neq = 0 .$ Буква $x$ стоит в первой степени: нет ни $x^{2},$ ни $x,$ ни $x$ в знаменателе. Решается оно одним действием — делением: $x = \frac{b}{a} .$

Как формула превращается в линейное уравнение

Два пути к ответу

Уравнение можно решить двумя равноценными способами. Выбирай тот, который тебе удобнее, — ответ будет одинаковый.

ВАЖНОЕ

Путь 1. Сначала выразить букву

Применяем обратные действия к формуле «в буквах», а числа подставляем в самом конце:

a = ω^{2} R \Rightarrow R = \frac{a}{ω ^{2}}, S = \frac{d _{1} d _{2} sin α}{2} \Rightarrow d_{2} = \frac{2 S}{d _{1} sin α} .

Умножение снимается делением, деление — умножением. Что стояло рядом с искомой буквой — уходит в другую часть обратным действием.

ВАЖНОЕ

Путь 2. Сначала подставить, потом решить

Ставим известные числа сразу — получается числовое линейное уравнение, которое решаем делением:

405 = 81 \cdot R \Rightarrow R = \frac{405}{81} = 5.

Правило деления обеих частей: что делаешь с одной стороной равенства, то же делай с другой — тогда равенство сохраняется.

✓СОВЕТ

Какой путь выбрать

Если рядом с буквой стоит одно-два простых множителя — быстрее выразить её сразу (путь 1). Если множитель получается «страшный» (дробь, произведение вроде $\frac{d _{1} s i n α}{2}$ ), удобнее подставить числа и уже с числом делить (путь 2): меньше шансов запутаться в буквах.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не перепутай с квадратным случаем

Если после подстановки искомая буква оказалась под квадратом ( $1250 v^{2} = 80000$ ), уравнение уже не линейное — нужен лишний шаг: найти $v^{2},$ а потом извлечь корень. Это отдельная подтема задания 12. Здесь мы разбираем только случай, когда буква в первой степени и хватает одного деления.

Алгоритм

Как решать линейное уравнение в задании 12

1. Найди искомую букву в формуле. Убедись, что она стоит в первой степени (не под квадратом и не под корнем) — тогда уравнение линейное.
2. Реши, каким путём идёшь. Выразить букву заранее (путь 1) или подставить числа и решать (путь 2).
3. Собери коэффициент при букве. Все числа, стоящие рядом с искомой буквой (множители, степени известных величин, дроби), посчитай в одно число $a .$ Свободную часть — в число $b .$
4. Раздели. Из $a x = b$ получаешь $x = \frac{b}{a} .$ Аккуратно с десятичной запятой.
5. Проверь и запиши ответ. Подставь найденное число обратно в формулу — левая и правая части должны совпасть. В бланк пиши только число, без единиц.

iЗАМЕЧАНИЕ

Формулы — уже в условии

Все физические и геометрические формулы задания 12 (мощность, ускорение, площадь) даны прямо в тексте задачи — их не надо помнить. Отдельной «формулы линейного уравнения» в справочных материалах КИМ нет и не нужно: тут работает только деление. Таблица квадратов из справочных материалов пригодится в соседней подтеме — там, где буква под квадратом.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Где теряют балл

Коэффициент собрали не полностью. В $a = ω^{2} R$ при $ω = 9$ рядом с $R$ стоит $ω^{2} = 81,$ а не $9 .$ Делить надо на $81 .$
Разделили не на то. Из $81 R = 405$ следует $R = 405 : 81,$ а не $81 : 405 .$ Слева от буквы — делитель.
Десятичная запятая. Ответ $6$ и ответ $0, 6$ — разные. Считай деление аккуратно: $1, 5 : 0, 25 = 6 .$
Ответ — число без единиц. В бланк пишем 5, а не «5 метров». Единицы держи в уме только для самопроверки.
Проверь прикидкой. Радиус $R = 5$ м правдоподобен, а $R = 405$ или $R = 0, 05$ — повод пересчитать.

Примеры решения задач

Три задачи ниже — от простой к составной: чистое деление, деление с десятичной дробью и уравнение с дробным коэффициентом.

ПРИМЕР 1

Подставил — разделил

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с $^{2}$ ) вычисляется по формуле $a = ω^{2} R,$ где $ω$ — угловая скорость (в с $^{- 1}$ ), $R$ — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус $R,$ если угловая скорость равна $9$ с $^{- 1},$ а центростремительное ускорение равно $405$ м/с $^{2} .$ Ответ дайте в метрах.

ПРИМЕР 2

Деление с десятичной дробью

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с $^{2}$ ) вычисляется по формуле $a = ω^{2} R,$ где $ω$ — угловая скорость (в с $^{- 1}$ ), $R$ — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус $R,$ если угловая скорость равна $0, 5$ с $^{- 1},$ а центростремительное ускорение равно $1, 5$ м/с $^{2} .$ Ответ дайте в метрах.

ПРИМЕР 3

Дробный коэффициент

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{d _{1} d _{2} sin α}{2},$ где $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей четырёхугольника, $α$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали $d_{2},$ если $d_{1} = 11,$ $sin α = \frac{7}{12},$ а $S = 57, 75 .$

Что запомнить

Буква справа, в первой степени — после подстановки получаешь линейное уравнение $a x = b,$ а его решаешь одним делением $x = \frac{b}{a} .$
Коэффициент $a$ — это все числа рядом с буквой, включая степени известных величин ( $ω^{2}$ ) и дроби ( $\frac{s i n α}{2}$ ). Собери их в одно число.
Два пути равноценны: выразить букву заранее или подставить числа и решать. Дробный множитель — повод подставить числа.
Буква под квадратом — это уже не линейное уравнение, а соседняя подтема (нужен корень).
В ответ — только число в нужных единицах, десятичная дробь через запятую.

Отработка

Прорешай подряд десяток однотипных задач — навык «собрал коэффициент и разделил» доводится до автоматизма быстро:

Коллекция топика «Линейные уравнения»
Все задачи типа 12 «Расчёты по формулам»