Линейные неравенства (Задание 13)
В задании 13 линейные неравенства — самый частый и самый механический сюжет. Тебе дают неравенство вида «выражение с x в первой степени слева, выражение с x справа» и четыре готовых ответа-промежутка (или четыре картинки с числовой прямой). Нужно решить неравенство самому и выбрать строку, где записано твоё множество решений. В бланк идёт номер варианта (1, 2, 3 или 4), а не сам промежуток.
От квадратных и систем этот подвид отличается тем, что тут нет ни парабол, ни пересечений: всё решается в три движения — раскрыл скобки, собрал x в одну сторону, поделил на коэффициент. Вся хитрость — в одном-единственном месте, где легко потерять балл: знак при делении на отрицательное число. Разберём это место до автоматизма.
Что происходит с неравенством
С неравенством можно делать почти всё то же, что с уравнением: переносить слагаемые через знак (меняя их знак на противоположный), прибавлять и вычитать одно и то же с обеих сторон, умножать и делить на положительное число. Все эти действия знак неравенства не трогают.
ВАЖНОЕ
Главное правило знака
Когда умножаешь или делишь обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства переворачивается (< становится >, ⩽ становится ⩾):
−2x⩾−3⟺x⩽1,5.На положительное — знак остаётся прежним.
Почему так? Умножение на −1 — это отражение точек на числовой прямой относительно нуля. Меньшее число после отражения становится большим: 2<3, а −2>−3. Поэтому порядок (а значит, и знак неравенства) меняется на обратный.
iЗАМЕЧАНИЕ
В справочных материалах этого нет
Для линейных неравенств в выданном на экзамене листе справочных материалов никакой формулы нет — этот подвид держится целиком на правилах переноса и деления. Их надо знать наизусть, подсмотреть негде.
Два способа не ошибиться со знаком
Забыть перевернуть знак — ошибка номер один в этом задании. Есть два надёжных способа её обойти; выбирай любой и держись его.
✓Способ без переворота
Собирай слагаемые с x в ту сторону, где коэффициент при нём получится положительным. Тогда делить придётся на положительное число, и знак трогать не надо вовсе. Например, из −5x>10 можно вместо деления на −5 сразу перекинуть всё так, чтобы x был с плюсом.
✓Способ с переворотом
Решай как привычно — собирай x слева. Если коэффициент вышел отрицательным, делишь на него и сразу переворачиваешь знак. Главное — не забыть; поставь себе галочку «делю на минус — верчу знак».
Алгоритм
АЛГОРИТМ
Как решать линейное неравенство
1. Если есть скобки — раскрой их; перенеси все слагаемые с x в одну сторону, числа — в другую (меняя знак при переносе).
2. Приведи подобные: получится kx и число, вида kx>m (или <, ⩽, ⩾).
3. Раздели обе части на коэффициент k. Если k<0 — переверни знак неравенства.
4. Дробь в ответе переведи в десятичную: −1518=−1,2.
5. Определи картинку: направление луча по знаку (x<c — влево, x>c — вправо), тип точки по строгости (строгий <,> — выколотая; нестрогий ⩽,⩾ — закрашенная). Запиши номер варианта.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Типовые ловушки этого подвида
- Знак при делении на минус — переворачивай, если делишь на отрицательное. Самая частая потеря балла.
- Строгость точки — строгий знак (<,>) даёт выколотую (пустую) точку, нестрогий (⩽,⩾) — закрашенную. Две картинки могут отличаться только этим.
- Направление луча — не путай x<c (влево) и x>c (вправо); после переворота знака луч смотрит в другую сторону, чем кажется на первый взгляд.
- Дробь в ответе — переведи в десятичную и сравни с числами на картинке (−1,2, а не −56).
✓СОВЕТ
Проверка за 10 секунд
Подставь любое удобное число из своего промежутка (чаще всего 0, если он туда попал) прямо в исходное неравенство. Получилось верное числовое неравенство — промежуток выбран правильно. Заодно возьми число вне промежутка: оно должно давать неравенство. Так отсекаешь неверные варианты, не перерешивая.
Разбор примеров
ПРИМЕР 1
Строгий знак, деление на минус
Укажите решение неравенства
−3−x>4x+7.
ПРИМЕР 2
Нестрогий знак, закрашенная точка
Укажите решение неравенства
−3−x⩾x−6.
ПРИМЕР 3
Способ без переворота знака
Укажите решение неравенства
−3−3x>7x−9.
Отработка
Прорешай задания этого типа в банке: задачи типа 13.
Тематическая подборка ровно по этому подвиду — коллекция topic-lineynye-neravenstva-13-oge.