Квадратные уравнения — ОГЭ

Квадратные уравнения (Задание 9)

Внутри задания 9 квадратные уравнения — самый частый гость. Опознать их просто: как только видишь $x^{2}$ (икс во второй степени), перед тобой квадратное уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0,$ где $a \neq = 0 .$ Общий конспект по заданию 9 уже показал, что бывает два больших семейства — линейные и квадратные. Здесь мы копаем только квадратные: как за секунду выбрать самый короткий путь к корню и не потерять балл на формате ответа.

Главная мысль топика: не хватайся сразу за дискриминант. У квадратного уравнения есть три разных «двери», и почти всегда одна из них короче. Сначала посмотри на коэффициенты $b$ и $c$ — они и подскажут метод.

Как выбрать способ решения квадратного уравнения

Полное уравнение: дискриминант

Когда оба коэффициента $b$ и $c$ ненулевые и корни «на глаз» не видны — работает универсальный метод через дискриминант.

ВАЖНОЕ

Дискриминант и корни

Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0 :$

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

$D > 0$ — два корня;
$D = 0$ — один корень $x = - \frac{b}{2 a};$
$D < 0$ — действительных корней нет.

iЗАМЕЧАНИЕ

Это есть в справочных материалах

Формула корней $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ вместе с $D = b^{2} - 4 a c$ напечатана в справочных материалах КИМ, которые выдают на экзамене. Заучивать наизусть не обязательно — но подставлять в неё числа надо быстро и без ошибок в знаках. Рядом на том же листе лежит таблица квадратов двузначных чисел: по ней удобно извлекать $D,$ если $D$ — точный квадрат (например, $729 = 27$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знаки при подстановке

Самая частая потеря балла — знак у $b .$ В формуле стоит $- b :$ если $b = - 11,$ то $- b = + 11,$ а не $- 11 .$ И следи за знаком под корнем: $D = b^{2} - 4 a c,$ где $4 a c$ вычитается вместе со своим знаком. При $c < 0$ выражение $- 4 a c$ становится плюсом.

Неполные уравнения: короткий путь

Если один из коэффициентов ноль, дискриминант считать не нужно — есть путь в одну строчку.

ВАЖНОЕ

Нет свободного члена (

c = 0

)

a x^{2} + b x = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0 \Rightarrow x = 0 или x = - \frac{b}{a}

Выносим $x$ за скобку: произведение равно нулю, когда один из множителей нуль. Корень $x = 0$ здесь есть всегда.

ВАЖНОЕ

Нет линейного члена (

b = 0

)

a x^{2} + c = 0 \Rightarrow x^{2} = - \frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm - \frac{c}{a}

Если справа получилось положительное число — два корня, противоположных по знаку. Если отрицательное — корней нет.

Теорема Виета: подбор и проверка

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Виета НЕТ в справочных материалах

Теоремы Виета в выданном листе нет — эту связку держи в голове сам. Зато она экономит уйму времени: для приведённого уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ (коэффициент при $x^{2}$ равен $1$ ) корни удовлетворяют $x_{1} + x_{2} = - p$ и $x_{1} \cdot x_{2} = q .$

ВАЖНОЕ

Теорема Виета

Для $x^{2} + p x + q = 0 :$

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q

✓СОВЕТ

Два применения

1. Подбор корней без дискриминанта. Ищешь два целых числа, дающих в произведении $q,$ а в сумме $- p .$ Для $x^{2} - 11 x + 18 = 0 :$ произведение $18,$ сумма $11$ — это $9$ и $2 .$ Готово.
2. Проверка уже найденного ответа. Посчитал корни через дискриминант — сложи и перемножь: должны выйти $- p$ и $q .$ Не сошлось — где-то ошибка в знаке.

Корни как точки пересечения параболы с осью Ox

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать квадратное уравнение

1. Приведи к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ : перенеси всё в левую часть, приведи подобные. Не дели на $x$ — потеряешь корень $x = 0 .$
2. Посмотри на $b$ и $c .$ Если $c = 0$ — выноси $x$ за скобку. Если $b = 0$ — переноси $c$ вправо и бери $\pm x .$
3. Полное уравнение — попробуй Виета (подбор двух чисел). Не подбирается — считай $D = b^{2} - 4 a c$ и корни по формуле.
4. Извлеки $D$ — по таблице квадратов из справочного листа, если $D$ — точный квадрат.
5. Проверь корни подстановкой или через Виета.
6. Прочитай, что просят записать — оба корня редко; чаще меньший или больший. Запиши в бланк нужное число.

Как оформить ответ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат бланка задания 9

В бланк — только число, без « $x =$ », без единиц, без пробелов.
Просят меньший или больший корень — выбери его. Записать оба или не тот — ноль баллов, даже если решил верно. Помни: $- 12 < 12,$ отрицательный меньше положительного.
Десятичная дробь — через запятую: $1, 5,$ а не $1.5 .$ Целый корень пиши целым.
Отрицательный корень — со знаком минус: $- 7 .$

Примеры

ПРИМЕР 1

Полное уравнение через дискриминант

Решите уравнение $x^{2} - 11 x + 18 = 0 .$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

ПРИМЕР 2

Неполное уравнение (

c = 0

)

Решите уравнение $8 x^{2} = 72 x .$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

ПРИМЕР 3

Разность квадратов и таблица квадратов

Решите уравнение $x^{2} - 144 = 0 .$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Что запомнить

Увидел $x^{2}$ — это квадратное; сначала смотри на $b$ и $c,$ потом выбирай метод.
$c = 0$ — выноси $x$ (корень $0$ есть всегда); $b = 0$ — через $x^{2} = - \frac{c}{a}$ и знак $\pm .$
Полное — пробуй Виета, не выходит — дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ (формула в справочном листе).
Виета в справочном листе нет — держи в голове; таблица квадратов и формула корней — есть.
Всегда перечитай, какой корень записать, и проверь формат: число, запятая в дробях, минус у отрицательного.

Отработка

Прорешай подряд десяток однотипных — метод закрепится до автоматизма:

Подборка по топику: Квадратные уравнения
Все задачи типа: Задание 9 — уравнения