Задание 9: Уравнения, системы уравнений — ОГЭ

Уравнения, системы уравнений (Задание 9)

Задание 9 — это чистая алгебра без картинок и текста «про жизнь»: тебе дают уравнение, ты решаешь его и записываешь в бланк один ответ — число. Никаких пояснений и промежуточных выкладок в бланк писать не нужно, проверяется только итоговое число. Поэтому цена ошибки высокая: перепутал знак — потерял весь балл, хотя метод выбрал правильно.

Почти всегда тебе попадётся одно из двух: линейное уравнение (все иксы в первой степени) или квадратное уравнение (есть $x^{2}$ ). Реже — простое дробно-рациональное, которое сводится к квадратному. Разберём оба главных типа так, чтобы ты узнавал их с первого взгляда и решал на автомате.

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение, которое после раскрытия скобок и приведения подобных сводится к виду $a x = b,$ где $x$ стоит только в первой степени. Топик: Линейные уравнения.

ВАЖНОЕ

Корень линейного уравнения

Если уравнение приведено к виду $a x = b$ и $a \neq = 0,$ то у него ровно один корень:

x = \frac{b}{a}

Весь фокус в том, чтобы аккуратно добраться до вида $a x = b :$ раскрыть скобки, перенести слагаемые с $x$ в одну часть, а числа — в другую (при переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный).

АЛГОРИТМ

Как решать линейное уравнение

1. Раскрой скобки. Помни про знак перед скобкой: $- 2 (x - 9) = - 2 x + 18$ (минус меняет оба знака внутри).
2. Собери иксы слева, числа справа. Каждое перенесённое через « $=$ » слагаемое меняет знак.
3. Приведи подобные в каждой части — получишь $a x = b .$
4. Раздели обе части на коэффициент $a$ перед иксом.
5. Проверь: подставь найденное $x$ в исходное уравнение — обе части должны совпасть.

ПРИМЕР 1

Линейное уравнение со скобками

Решите уравнение $2 (x - 6) - x = 6 .$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид $a x^{2} + b x + c = 0,$ где $a \neq = 0 .$ Здесь есть $x^{2}$ — это главный опознавательный признак. Топик: Квадратные уравнения.

ВАЖНОЕ

Дискриминант и корни

Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ сначала считают дискриминант, а затем корни:

D = b^{2} - 4 a c

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

если $D > 0$ — два корня;
если $D = 0$ — один корень ( $x = - \frac{b}{2 a}$ );
если $D < 0$ — корней нет.

iЗАМЕЧАНИЕ

Это есть в справочных материалах

Формула корней квадратного уравнения и формула дискриминанта напечатаны в справочных материалах КИМ, которые тебе выдают прямо на экзамене. Заучивать их наизусть не обязательно — но надо уметь быстро и без ошибок ими пользоваться. Там же лежит таблица квадратов двузначных чисел: пригодится, чтобы не считать $D$ вручную.

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0,$ дискриминант обычно не нужен — есть путь короче.

ВАЖНОЕ

Неполное: нет свободного члена (

c = 0

)

a x^{2} + b x = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0 \Rightarrow x = 0 или x = - \frac{b}{a}

Выносим $x$ за скобку — произведение равно нулю, когда один из множителей нуль.

ВАЖНОЕ

Неполное: нет линейного члена (

b = 0

)

a x^{2} + c = 0 \Rightarrow x^{2} = - \frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm - \frac{c}{a}

Частный случай — разность квадратов $x^{2} - k = (x - k) (x + k) .$

✓СОВЕТ

Теорема Виета — быстрая проверка

Для приведённого уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ корни связаны так: $x_{1} + x_{2} = - p$ и $x_{1} \cdot x_{2} = q .$ Если легко подбираются два числа с нужными суммой и произведением — это и есть корни, дискриминант можно не считать. А ещё это отличный способ проверить уже найденный ответ.

ПРИМЕР 2

Неполное уравнение и выбор корня

Решите уравнение $x^{2} = 5 x .$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

ПРИМЕР 3

Разность квадратов

Решите уравнение $x^{2} - 9 = 0 .$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Типовые ловушки задания 9

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Как оформить ответ

В бланк идёт только число, без « $x =$ », без пробелов и без единиц измерения.
Если корней два, а в условии сказано «запишите меньший (больший) корень» — выбери нужный. Записать оба или не тот — ноль баллов, хотя решил верно.
Десятичную дробь пиши через запятую: $2, 5,$ а не $2.5 .$ Если корень целый — так и пиши целым.
Отрицательный ответ записывают со знаком минус: $- 3 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в самом решении

Потеря корня $x = 0 .$ В уравнении вида $x^{2} = 5 x$ нельзя делить на $x$ — сначала переноси всё влево и выноси $x$ за скобку.
Забыли второй знак. Из $x^{2} = 9$ следует $x = \pm 3,$ а не только $x = 3 .$
Знак при переносе. Слагаемое, перенесённое через « $=$ », меняет знак: из $7 x - 7 = 19 + 5 x$ получаем $7 x - 5 x = 19 + 7 .$
Минус перед скобкой. $- 2 (x - 9) = - 2 x + 18,$ а не $- 2 x - 18 .$

Что запомнить

Увидел $x^{2}$ — это квадратное уравнение; нет $x^{2}$ — линейное.
Линейное: раскрой скобки $\to$ собери иксы слева, числа справа $\to$ раздели на коэффициент.
Квадратное полное: дискриминант $D = b^{2} - 4 a c,$ дальше по формуле корней (обе — в справочном листе).
Квадратное неполное: $a x^{2} + b x = 0$ решай вынесением $x;$ $a x^{2} + c = 0$ — через $x^{2} = - \frac{c}{a}$ и знак $\pm .$
Всегда перечитай, какой корень просят записать, и проверь формат ответа.

Отработка

Закрепи навык на реальных задачах банка — реши подряд десяток, пока метод не станет автоматическим:

Все задачи типа: Задание 9 — уравнения
Подборка по топику: Линейные уравнения
Подборка по топику: Квадратные уравнения