Квадратные неравенства — ОГЭ

Квадратные неравенства (Задание 13)

Это один из трёх сюжетов задания 13, и, пожалуй, самый «геометрический» из них: чтобы его решить, ты в голове (или на черновике) рисуешь параболу и смотришь, где она выше оси, а где ниже. В отличие от линейного неравенства, здесь у выражения не один «поворот знака», а два — потому что у квадратного трёхчлена бывает два корня. Значит, и ответ бывает двух видов: либо отрезок между корнями, либо два луча вне корней. Научишься различать эти два случая — и половина задания уже в кармане.

Общий разбор задания 13 и его соседних сюжетов (линейные неравенства, системы) — в конспекте типа. Здесь мы копаем только квадратные: как быстро найти корни, как по знаку старшего коэффициента снять знаки и как не перепутать «между» и «вне».

Как выглядит квадратное неравенство в задании 13

Тебе попадётся выражение вида $a x^{2} + b x + c$ со знаком $>,$ $<,$ $⩽$ или $⩾ .$ На ОГЭ почти всегда встречаются три удобные заготовки, и корни в них ищутся устно:

ВАЖНОЕ

Разность квадратов

Свободный член — точный квадрат, слагаемого с $x$ нет:

x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a) .

Корни сразу видны: $x = - a$ и $x = a .$

Эта формула сокращённого умножения есть в справочных материалах КИМ — лист с ней лежит на парте на самом экзамене. Наизусть держать не обязательно, но узнавать её в неравенстве надо мгновенно: почти все квадратные неравенства задания 13 — именно такого вида ( $x^{2} - 25,$ $x^{2} - 49,$ $x^{2} - 36$ ).

ВАЖНОЕ

Вынесение общего множителя

Свободного члена нет ( $c = 0$ ) — выноси $x$ за скобку:

x^{2} - 5 x = x (x - 5), 6 x - x^{2} = x (6 - x) .

Корни: $x = 0$ и второй из скобки.

ВАЖНОЕ

Корни через дискриминант

Если корни «не угадываются» — считай через дискриминант:

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .

И дискриминант, и формула корней есть в справочных материалах КИМ. Там же лежит разложение трёхчлена на множители $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ и формула вершины параболы $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ — на экзамене всё это под рукой.

Ветви параболы решают всё

Найти корни — полдела. Дальше нужно понять, где выражение больше нуля, а где меньше. Это определяет знак старшего коэффициента $a$ (число перед $x^{2}$ ).

iЗАМЕЧАНИЕ

Правило знаков

Ветви вверх ( $a > 0$ ): знаки идут «+ − +». Выражение положительно вне корней и отрицательно между ними.
Ветви вниз ( $a < 0$ ): знаки идут «− + −». Всё наоборот: положительно между корнями.

Коварный случай — $6 x - x^{2} :$ перед $x^{2}$ стоит $- 1,$ значит ветви вниз. Многие по привычке решают как «вверх» и получают неверный промежуток.

Парабола ветвями вверх и вниз со снятыми знаками

АЛГОРИТМ

Алгоритм для квадратного неравенства

1. Приведи к виду « $\dots ≷ 0$ »: перенеси всё в левую часть, если справа не ноль.
2. Найди корни левой части (разность квадратов, вынесение множителя или дискриминант).
3. Отметь корни на прямой. Реши: ветви вверх или вниз (по знаку перед $x^{2}$ ).
4. Сними знаки: «+ − +» для ветвей вверх, «− + −» для ветвей вниз.
5. Выбери нужные куски: для « $> 0$ » — плюсы, для « $< 0$ » — минусы.
6. Проверь строгость: строгий знак ( $<,$ $>$ ) — точки выколоты (пустой кружок); нестрогий ( $⩽,$ $⩾$ ) — точки закрашены.
7. Найди среди четырёх картинок совпавшую и запиши её номер.

Два вида ответа: отрезок между корнями и два луча вне корней

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ловушки именно этого подвида

Ответ — номер картинки, а не промежуток. В бланк идёт цифра 1, 2, 3 или 4.
«Между» ↔ «вне». Отрезок между корнями и два луча вне корней часто стоят соседними вариантами. Спутал знак ветвей — выбрал не ту картинку.
Тип точек. Строгий знак — кружок пустой, нестрогий — закрашенный. Варианты специально различаются только этим.
Нет $x$ в первой степени, но плюс, а не минус. Неравенства вроде $x^{2} + 49 ⩽ 0$ решений не имеют (слева всегда положительное число), а $x^{2} + 36 ⩾ 0$ верно при всех $x$ — это вся прямая. Такие «пустышки» подсовывают как ловушку.

✓СОВЕТ

Быстрая самопроверка

Подставь одно удобное число из выбранного промежутка (чаще всего $0$ ) в исходное неравенство. Получилось верное — промежуток правильный. За 10 секунд отсекаешь неверные картинки.

Разбор примеров

ПРИМЕР 1

Отрезок между корнями

Укажите решение неравенства

$x^{2} - 49 < 0 .$

ПРИМЕР 2

Ветви вниз

Укажите решение неравенства

$6 x - x^{2} > 0 .$

ПРИМЕР 3

Выбор неравенства по рисунку

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

Числовая прямая: закрашенные точки в −6 и 6, штриховка влево от −6 и вправо от 6

1. $x^{2} - 36 ⩽ 0$

2. $x^{2} + 36 ⩾ 0$

3. $x^{2} - 36 ⩾ 0$

4. $x^{2} + 36 ⩽ 0$

Отработка

Прорешай задачи этого типа целиком: задачи типа 13.

Узкая подборка ровно по этому подвиду — коллекция topic-kvadratnye-neravenstva-13-oge.