Кусочно-непрерывные функции — ОГЭ

Кусочно-непрерывные функции (Задание 22)

Третий сюжет задания 22 — функция, склеенная из нескольких кусков. Тебе дают либо готовую фигурную скобку

y = ⎩ ⎨ ⎧ 2, 5 x - 3, 5, - 3 x + 7, 5, x - 6, x < 2, 2 ⩽ x ⩽ 3, x > 3,

либо одну формулу с модулем вроде $y = x ∣ x ∣ + 3∣ x ∣ - 5 x$ — и тогда куски ты делаешь сам, раскрывая модуль.

Хорошая новость: ничего нового строить не надо. Каждый кусок — это знакомый график (прямая, парабола, гипербола), просто взятый не целиком, а на своём промежутке. Вся работа — аккуратно определить, какая часть каждого графика попала в дело, что происходит на стыках, и потом посчитать пересечения с прямой $y = m$ по кускам отдельно.

И ещё одна особенность именно этой подтемы: ответ здесь часто промежуток, а не набор отдельных чисел. Если график склеен без разрывов (так бывает, когда куски получены раскрытием модуля), ответ обычно набирается из отдельных значений — например, « $m = - 1;$ $m = 16$ ». А вот если у графика есть скачок или выколотая точка, то целый промежуток значений $m$ даёт одно и то же число общих точек, и в ответ идёт неравенство: « $m = 1, 5;$ $- 3 < m < - 1, 5$ ». Не пугайся, если получилось неравенство — так и должно быть.

Как устроен кусочный график

ВАЖНОЕ

Функция, заданная по частям

y = ⎩ ⎨ ⎧ f_{1} (x), f_{2} (x), \dots x \in D_{1}, x \in D_{2},

Промежутки $D_{1}, D_{2}, \dots$ не пересекаются. На каждом из них строишь свой график, но рисуешь только ту его часть, которая попала в $D_{i} .$ Всё, что вне промежутка, стираешь — этого куска графика не существует.

Кусочный график из трёх частей со скачком

iЗАМЕЧАНИЕ

Закрашенная и выколотая точка

Знак в условии куска решает всё. Если написано $x ⩽ 3$ — конец куска принадлежит графику, рисуем закрашенный кружок. Если $x < 3$ — конец не принадлежит, рисуем пустой (выколотый) кружок, а значение в нём функция не принимает.

На стыке двух кусков возможны два варианта:

обе формулы в точке стыка дают одно и то же значение — график непрерывен, склейка без разрыва;
значения разные — на графике скачок, и в промежутке между ними функция не принимает никаких значений.

Модуль — это тоже кусочная запись

ВАЖНОЕ

Раскрытие модуля

∣ x ∣ = {x, - x, x ⩾ 0, x < 0, ∣ x - a ∣ = {x - a, a - x, x ⩾ a, x < a .

Точка, в которой выражение под модулем обращается в ноль, — это точка стыка. Подставляешь оба случая в исходную формулу и получаешь две разные функции на двух промежутках. Такой график всегда непрерывен: в точке стыка обе формулы дают одно значение.

Так, $y = x ∣ x ∣ + 3∣ x ∣ - 5 x$ при $x ⩾ 0$ превращается в $y = x^{2} - 2 x,$ а при $x < 0$ — в $y = - x^{2} - 8 x :$ две параболы, склеенные в начале координат.

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула вершины есть в справочных материалах

Куски бывают разные — прямые, параболы, гиперболы, — но параболы среди них попадаются чаще всего, особенно когда функция задана через модуль. Тогда понадобятся формула вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ и формула корней квадратного уравнения. Обе будут в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но пользоваться ими надо уверенно и быстро.

Главный приём: считаем по кускам

Прямая $y = m$ горизонтальная, поэтому вопрос «сколько общих точек» — это вопрос «сколько раз функция принимает значение $m$ ». А раз функция собрана из кусков, считаем отдельно по каждому и складываем.

ВАЖНОЕ

Сколько корней даёт один кусок

Пусть на промежутке $D$ функция $f$ монотонна (только возрастает или только убывает). Тогда каждое значение из множества значений этого куска достигается ровно один раз, а любое другое — ни разу.

Практически: решаешь $f (x) = m,$ выражаешь $x$ через $m$ и переводишь условие « $x$ лежит в $D$ » в условие на $m .$

Множества значений кусков на оси ординат

Как считать общие точки с прямой y = m

1. Разбей на куски. Раскрой модуль или выпиши формулы из фигурной скобки. Для каждого куска запиши его промежуток.
2. Разбери каждый кусок отдельно. Для прямой — направление; для параболы — ветви, вершина, значение на конце промежутка. Отметь, какие концевые точки закрашены, а какие выколоты.
3. Найди множество значений каждого куска — от значения на одном конце промежутка до значения на другом (у параболы не забудь вершину, если она попала внутрь).
4. Составь уравнение $f_{i} (x) = m$ на каждом куске и отбрось корни, вышедшие за свой промежуток. Условие «корень внутри $D_{i}$ » переведи в неравенство на $m .$
5. Сложи количества по всем кускам — удобнее всего в таблице по промежуткам значений $m .$
6. Выбери строки с нужным числом точек и запиши ответ: отдельные значения через ;, промежутки — неравенствами.

✓СОВЕТ

Границы таблицы — это критические значения m

Строки таблицы разделяют «особые» уровни: ординаты вершин парабольных дуг, значения на концах кусков (и закрашенных, и выколотых), горизонтальные асимптоты. Выпиши их все, расставь по возрастанию — получится готовый каркас таблицы. Ответ почти всегда живёт именно на этих границах или между двумя соседними.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Корень «не из своего куска». Формула $y = x^{2} - 2 x$ работает только при $x ⩾ 0 .$ Корень $x = - 1$ решением не является, даже если уравнение его выдало. Проверяй каждый корень на принадлежность промежутку.
Выколотый конец даёт ноль точек, а не одну. Если в точке стыка кусок обрывается пустым кружком, соответствующее значение $m$ этим куском не даётся.
Скачок съедает целый промежуток значений. Между $- 1, 5$ и $- 3$ в примере выше средний кусок не даёт ничего — не «дорисовывай» вертикальный отрезок на разрыве, его там нет.
Строгий или нестрогий знак в ответе. $- 3 < m < - 1, 5$ и $- 3 ⩽ m ⩽ - 1, 5$ — разные ответы. Каждую границу проверяй подстановкой отдельно.
Формат записи. Десятичные — через запятую: $m = 2, 25,$ а не $m = 2.25 .$

Примеры

ПРИМЕР 1

Три куска и скачок

Постройте график функции

y = ⎩ ⎨ ⎧ 2, 5 x - 3, 5, - 3 x + 7, 5, x - 6, x < 2, 2 ⩽ x ⩽ 3, x > 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

ПРИМЕР 2

Парабола плюс луч

Постройте график функции

y = {x^{2} + 2 x + 1, x + 6, x ⩾ - 2, x < - 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

ПРИМЕР 3

Модуль вместо фигурной скобки

Постройте график функции

y = x ∣ x ∣ + 3∣ x ∣ - 5 x .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Две парабольные дуги, склеенные в начале координат

ПРИМЕР 4

Дробь с модулем и выколотая точка

Постройте график функции

y = \frac{( 0 , 5 x ^{2} + x ) \cdot ∣ x ∣}{x + 2} .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Отработка

Закрепи приём «разбери по кускам — сложи в таблицу» на банке задач:

Все задачи типа: Задание 22 ОГЭ
Подборка по теме: Кусочно-непрерывные функции

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Черновик решай таблицей, а в чистовик выноси и график, и разбор случаев. Обязательно подписывай на чертеже координаты вершин, концов кусков и выколотых точек: именно эти числа становятся границами в ответе, и по ним эксперт видит, что ты разобрал все случаи, а не угадал.