Комбинация многоугольников и окружностей — ОГЭ

Комбинация многоугольников и окружностей (Задание 25)

Этот подвид задания 25 отличается от «чистой» геометрии тем, что на одном чертеже встречаются сразу две фигуры: многоугольник (чаще треугольник или трапеция) и окружность. Окружность либо вписана, либо описана, либо просто проходит через нужные точки и где-то касается прямой. Ключ к решению — не отдельные свойства многоугольника или окружности, а мостик между ними: свойство, которое переводит факт про многоугольник в факт про окружность и обратно.

В конспекте типа ты уже видел общие опорные факты (биссектриса, теорема синусов, признаки вписанной и описанной окружности). Здесь мы углубляемся именно в связку «фигура + окружность» и разбираем три приёма, которые в этом подвиде встречаются почти всегда: прямой угол на диаметр, степень точки и угол между касательной и хордой. Узнаешь приём в условии — задача сразу распадается на понятные шаги.

Обзор: три способа, которыми окружность связана с многоугольником

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог отметки: геометрию нельзя пропустить

Во второй части ОГЭ три геометрические задачи (23, 24, 25). По критериям ФИПИ для отметки выше «2» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию — алгеброй этот порог не «добить». Поэтому бери хотя бы частичные шаги задач 23-24, а разбор №25 поднимает потолок твоей отметки до максимума.

Три ключевых приёма топика

Ни одной из формул этого раздела нет в справочных материалах КИМ (там только теоремы синусов, косинусов, Пифагора и площади) — эти свойства надо знать наизусть и, главное, узнавать в условии.

ВАЖНОЕ

Вписанный угол на диаметр — прямой

Если хорда, на которую опирается вписанный угол, — это диаметр, то угол прямой:

если A B - диаметр, то ∠ A C B = 9 0^{\circ} .

Работает и наоборот: если из точки отрезок виден под прямым углом, эта точка лежит на окружности с данным отрезком как диаметром. Отсюда рождается связка «середина стороны равноудалена от вершин → эта сторона диаметр → прямые углы».

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой

ВАЖНОЕ

Степень точки: касательная и секущая

Из точки $P$ вне окружности проведены касательная $P T$ (точка касания $T$ ) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B .$ Тогда

P T^{2} = P A \cdot P B .

Это главный инструмент, когда окружность касается одной прямой и проходит через две точки на другой прямой, сходящейся с первой в одной вершине.

Степень точки: касательная в квадрате равна произведению секущей

ВАЖНОЕ

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведёнными из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны:

∠ (касательная, T A) = ∠ T B A,

где $B$ — точка окружности по другую сторону хорды $T A .$ Приём переносит угол «от касательной» внутрь фигуры, где его уже можно посчитать.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу

Как подступиться к задаче

АЛГОРИТМ

Алгоритм для комбинированной задачи

1. Крупный чертёж. Нарисуй и многоугольник, и окружность, отметь точки касания, диаметр, все данные.
2. Найди мостик. Реши, какой из трёх приёмов связывает фигуры: диаметр даёт прямой угол, касание — степень точки или угол касательная-хорда.
3. Дострой, если нужно. Продли боковые стороны трапеции до пересечения, проведи радиус в точку касания (он перпендикулярен касательной), опусти перпендикуляры.
4. Составь уравнения из подобия, теоремы Пифагора и найденного приёма. Часто лишние отрезки сокращаются.
5. Доведи до числа, обоснуй каждый шаг. Эксперт оценивает логику: каждое равенство углов или сторон опирай на признак или теорему.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые потери баллов на ОГЭ

«Из чертежа видно» — не аргумент. Прямой угол на диаметр, касание, подобие — каждый шаг называй теоремой.
Радиус в точку касания. Забыть, что радиус перпендикулярен касательной, — самая частая ошибка топика.
Формат ответа. Иррациональный ответ ( $63$ ) так и оставляй, не округляй без требования. Десятичную дробь пиши через запятую: $3, 2,$ не «3.2». Следи за единицами.
Лишний корень. Решая квадратное уравнение, проверяй оба корня на геометрический смысл (длина $> 0$ ).

Разобранные примеры

Примеры идут от одного приёма к их связке.

ПРИМЕР 1

Окружность на высоте как на диаметре

Точка $H$ является основанием высоты $B H,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C .$ Окружность с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K,$ если $B H = 12 .$

Окружность с диаметром BH и прямоугольник BPHK

ПРИМЕР 2

Трапеция и касающаяся окружность

В трапеции $A B C D$ основания $A D$ и $B C$ равны соответственно 18 и 6, а сумма углов при основании $A D$ равна $9 0^{\circ} .$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $C D,$ если $A B = 10 .$

Трапеция с продлёнными боковыми сторонами и касательной окружностью

ПРИМЕР 3

Касательная, хорда и среднее геометрическое

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C .$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E .$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D,$ если $A D = 12,$ $B C = 9 .$

Прямоугольная трапеция и окружность, касающаяся боковой стороны

Отработка

Разбор закрепляется только практикой — набивай руку на распознавании мостика между фигурой и окружностью.

Коллекция топика: Комбинация многоугольников и окружностей.
Все задачи задания 25: банк задания 25.

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Бери задание 25 последним, когда первая часть уже перенесена в бланк. Даже без полного решения запиши чертёж, отметь диаметр или точку касания и докажи хотя бы один прямой угол — за верные шаги ставят частичные баллы, а именно они держат отметку выше тройки.