Классические вероятности (Задание 10)
В задании 10 самый частый гость — вопрос «найдите вероятность», где всё честно: билеты одинаковые, машины у диспетчера равноправны, чашку выбирают не глядя. Такой подвид называют классической вероятностью, и он решается одним движением — поделить «сколько подходит» на «сколько всего». Никаких деревьев и цепочек: один опыт, один результат, одно деление.
В конспекте по всему заданию мы уже вывели главную дробь P=nm. Здесь копнём именно этот подвид глубже: как правильно посчитать n и m, когда в условии слово «остальные» или сразу несколько цветов, и почему в хитрых задачах (монета, подарок Мише) все исходы всё равно оказываются равновозможными.
ВАЖНОЕ
Классическое определение вероятности
P=nmn — общее число всех равновозможных исходов опыта, m — число благоприятных (тех, что нас устраивают). Формула работает только когда исходы равноправны: предметы не отличаются на ощупь, выбор случаен, монета и кубик честные.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Этой формулы нет в справочных материалах
Лист «Справочные материалы», который выдают на ОГЭ, содержит формулы алгебры и геометрии, но не содержит ни одной формулы вероятности. Дробь «подходящие делить на все» держи в голове — благо она одна.
Главное условие — равновозможность
Прежде чем делить, спроси себя: «а все ли исходы равноправны?» Если предметы одинаковы, а выбор случаен — да. Именно поэтому в задачах про монету или про подарок работает та же дробь, хотя на первый взгляд там «цепочка».
iЗАМЕЧАНИЕ
Почему любой из N исходов равновозможен
Если подарки раздают случайно, то конкретному человеку (Мише) равновозможно достаётся любой из предметов — не важно, каким по счёту он тянет. Точно так же восьмой бросок монеты ничем не выделен среди всех бросков серии. Поэтому такие задачи — это по-прежнему классическая вероятность P=nm, а не многошаговый опыт.
АЛГОРИТМ
Как решать классическую вероятность
1. Опиши опыт — что именно происходит один раз (выбирают машину, чашку, ручку).
2. Найди n — сколько всего равновозможных исходов. Если в условии слово «остальные», сначала дострой полную картину.
3. Найди m — сколько исходов благоприятны. Часто удобно посчитать «плохие» и вычесть: m=n−(плохие).
4. Раздели и сократи P=nm; переведи в конечную десятичную дробь, если деление точное.
5. Проверь диапазон: обязано выполняться 0⩽P⩽1.
Приём «остальные» и составной подсчёт
Половина задач этого топика прячет одно из чисел за словом «остальные» или раскидывает предметы по нескольким категориям. Тогда m или n приходится собирать по кусочкам.
✓СОВЕТ
Слово «поровну»
Если сказано, что каких-то предметов «поровну», их количество находят так: из общего числа вычитают всё названное, а остаток делят на два. Это типовой шаг в задачах про ручки и карандаши.
ПРИМЕР 1
Жёлтое такси
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 4 чёрных, 3 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
ПРИМЕР 2
Чашки с синими цветами
У бабушки 15 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
ПРИМЕР 3
Красная или синяя ручка
В магазине канцтоваров продаётся 206 ручек: 20 красных, 8 зелёных, 12 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или синей.
Типовые ловушки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Формат ответа
- Ответ пиши числом без единиц и без слова «вероятность».
- Десятичную дробь — через запятую: 0,2, а не 0.2 и не «20%».
- Обыкновенную дробь переводи в десятичную, если деление точное (156=0,4); если нацело не делится — оставь несократимую дробь.
- Всегда проверяй: 0⩽P⩽1. Ответ вроде 1,3 или −0,2 невозможен — ищи ошибку в подсчёте.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Частые ошибки именно здесь
- Забыли достроить «остальные». Прежде чем делить, найди все числа: сколько всего и сколько каждого вида.
- Взяли не то за n. Общее число исходов — это все предметы опыта, а не только названная группа.
- Сократили неверно. После деления прикинь на глаз: если подходящих меньше половины, ответ меньше 0,5 (в примере с такси жёлтых мало — и правда 0,2).
Что запомнить
- Классическая вероятность — это одно деление P=nm для равновозможных исходов.
- Слово «остальные» — сигнал сначала достроить полную картину, а «поровну» — поделить остаток на два.
- «Красная или синяя», несколько цветов — просто сложи все благоприятные исходы в m.
- Даже «монета» и «подарок Мише» — это классическая вероятность: любой исход равновозможен.
- Формул вероятности нет в справочных материалах — держи дробь в голове.
Отработка
Закрепи навык на живом банке:
- Классические вероятности — коллекция
topic-klassicheskie-veroyatnosti-10-oge - Все задачи типа: Задание 10 — Статистика, вероятности