Касательная, хорда, секущая, радиус — ОГЭ

Касательная, хорда, секущая, радиус (Задание 16)

В задании 16 эта подтема — про сами «линии» окружности: радиус, хорду, касательную и секущую, и про то, как они друг с другом связаны. В отличие от задач на углы, здесь чертёж почти всегда прячет прямой угол или равнобедренный треугольник из двух радиусов — узнал его, дорисовал недостающий отрезок, и дальше всё считается по теореме Пифагора или сумме углов.

Разберёмся, что это за линии и какие три-четыре свойства вытягивают почти любую задачу этого подвида.

Радиус, хорда, касательная и секущая на одной окружности

iЗАМЕЧАНИЕ

Договоримся о словах

Радиус — отрезок от центра до точки окружности; все радиусы одной окружности равны. Хорда соединяет две точки окружности; самая длинная хорда — диаметр (проходит через центр, $d = 2 R$ ). Касательная — прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка (точка касания). Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках (то есть содержащая хорду).

Касательная и радиус

Главное свойство всей темы. Провёл радиус в точку касания — получил прямой угол, а вместе с ним прямоугольный треугольник.

ВАЖНОЕ

Касательная перпендикулярна радиусу

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:

∠ (касательная, R) = 9 0^{\circ}

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания

✓СОВЕТ

Два радиуса — всегда равнобедренный треугольник

Если из центра проведены два радиуса ( $O A$ и $O B$ ), то треугольник $A O B$ равнобедренный: $O A = O B = R .$ Значит углы при основании $A B$ равны — это спасает почти в каждой задаче с хордой или вписанным углом.

ВАЖНОЕ

Две касательные из одной точки

Отрезки двух касательных, проведённых к окружности из одной внешней точки $P,$ равны, а прямая $P O$ — биссектриса угла между ними:

P M = P N

Хорда и радиус

Радиус, проведённый в середину хорды, «складывает» её пополам и делает прямой угол — это второй рабочий инструмент темы.

ВАЖНОЕ

Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам

Если радиус (или диаметр) перпендикулярен хорде, то он делит её пополам. Тогда половина хорды, расстояние от центра до хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник:

(\frac{a}{2})^{2} + d^{2} = R^{2}

где $a$ — длина хорды, $d$ — расстояние от центра до хорды, $R$ — радиус.

Радиус перпендикулярен хорде и делит её пополам

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на касательную, хорду и радиус

1. Найди центр и проведи радиусы ко всем важным точкам: к точке касания, к концам хорды. Все они равны $R .$
2. Ищи прямой угол. Радиус в точку касания $⊥$ касательной; радиус, идущий в середину хорды, $⊥$ хорде. Прямой угол — это вход в теорему Пифагора.
3. Выдели прямоугольный или равнобедренный треугольник. Два радиуса дают равнобедренный ( $O A = O B$ ); радиус + полухорда + расстояние до центра дают прямоугольный.
4. Посчитай по теореме Пифагора, сумме углов или определению синуса/тангенса — и проверь формат ответа.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа и частые ошибки

Радиус и диаметр — не одно и то же: диаметр вдвое больше радиуса. В прямоугольный треугольник с хордой идёт именно радиус $R .$
Хорда делится пополам только перпендикулярным радиусом. Если радиус проведён «наискосок», он хорду пополам не делит.
Углы — в градусах, но без слова «градусов»: ответ $5 7^{\circ}$ пиши в бланк как 57.
Десятичный ответ — через запятую: $7, 2,$ а не 7.2.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и вторая часть). Задание 16 — один из самых доступных геометрических баллов, поэтому его пропускать нельзя.

Примеры решения задач

Задачи ниже — из банка. Все три держатся на радиусе: как расстоянии до точки касания, как половине диаметра и как радиусе описанной окружности.

ПРИМЕР 1

Радиус вписанной окружности

Диагональ $A C$ ромба $A B C D$ равна $24,$ а $t g ∠ B C A = 0, 75 .$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ромб ABCD с вписанной окружностью и диагоналями

ПРИМЕР 2

Хорда, проходящая через центр

Центр окружности, описанной около треугольника $A B C,$ лежит на стороне $A B .$ Найдите угол $A B C,$ если угол $B A C$ равен $3 3^{\circ} .$ Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC вписан в окружность, сторона AB проходит через центр

ПРИМЕР 3

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $103 .$ Найдите длину стороны этого треугольника.

Равносторонний треугольник, вписанный в окружность

Что запомнить

Радиус в точку касания $⊥$ касательной; две касательные из одной точки равны. В справочном листе этого нет — учи наизусть.
Два радиуса всегда дают равнобедренный треугольник ( $O A = O B = R$ ).
Радиус $⊥$ хорде делит её пополам: полухорда, расстояние до центра и радиус — прямоугольный треугольник, добиваешь теоремой Пифагора.
Из справочного листа: теорема Пифагора, теорема синусов $\frac{a}{sin A} = 2 R,$ тригонометрия прямоугольного треугольника.

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задачи типа 16.

Подборка именно по этой подтеме: Касательная, хорда, секущая, радиус.

Цель — довести узнавание до автоматизма: увидел касательную — сразу проводи радиус в точку касания и ищи прямой угол; увидел хорду — опусти на неё перпендикуляр из центра. Тогда задание 16 будет приносить стабильный балл за минуту.