Гиперболы — ОГЭ

Гиперболы (Задание 22)

Это самый «технический» из трёх сюжетов задания 22. Тебе дают функцию, у которой в формуле стоит громоздкая дробь — что-то вроде $\frac{x - 3}{x ^{2} - 3 x}$ или $\frac{3∣ x ∣ - 1}{∣ x ∣ - 3 x ^{2}} .$ Выглядит пугающе, но почти всегда после сокращения остаётся простая гипербола: $y = \frac{1}{x},$ $y = - \frac{1}{∣ x ∣}$ или гипербола, сдвинутая вверх-вниз.

Вся соль этого подвида — в выколотых точках. Когда ты сокращаешь дробь, из области определения выпадают одна-две точки. На графике их «выкалывают» — рисуют пустым кружком. Прямая ( $y = k x$ или $y = m$ ), которая попадает ровно в такую дырку, общей точки с графиком НЕ даёт. Именно эти дырки и порождают «особые» значения параметра в ответе. Пропустишь дырку — потеряешь балл.

Как гипербола прячется в дроби

Первый шаг всегда один: разложить знаменатель на множители и сократить. После этого числитель и часть знаменателя уходят, а остаётся знакомая гипербола.

ВАЖНОЕ

Гипербола y = k/x

y = \frac{k}{x} .

Две ветви в противоположных четвертях; оси $O x$ и $O y$ — асимптоты (ветви к ним прижимаются, но не касаются). При $k > 0$ ветви в I и III четвертях, при $k < 0$ — во II и IV.

Гипербола y=1/x и прямая y=kx через две точки

ВАЖНОЕ

Дробь сокращается до гиперболы

Типовые заготовки задания 22:

\frac{x - a}{x ^{2} - a x} = \frac{x - a}{x ( x - a )} = \frac{1}{x}, \frac{a ∣ x ∣ - 1}{∣ x ∣ - a x ^{2}} = \frac{- ( 1 - a ∣ x ∣ )}{∣ x ∣ ( 1 - a ∣ x ∣ )} = - \frac{1}{∣ x ∣} .

Слева — обычная гипербола $y = \frac{1}{x};$ справа (с модулем) — чётная функция $y = - \frac{1}{∣ x ∣},$ у неё две симметричные относительно оси $O y$ ветви, обе ниже оси $O x .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Разложение — из справочных материалов

Чтобы разложить знаменатель, используешь формулу $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ (или просто выносишь общий множитель). Формула разложения квадратного трёхчлена на множители есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но раскладывать знаменатель ты должен уметь быстро. А вот сама формула гиперболы $y = \frac{k}{x}$ в справочный лист НЕ входит — её держи в голове.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не потеряй выколотую точку

Сокращая $\frac{x - 3}{x ( x - 3 )} = \frac{1}{x},$ помни: делить на $(x - 3)$ можно только при $x \neq = 3 .$ Значит, точка $x = 3$ выколота, хотя в упрощённой формуле $\frac{1}{x}$ её ничто не выдаёт. У дробей с модулем выколотых точек сразу две — симметричные $x = \pm a .$ Найди ординату каждой (подставь абсциссу в упрощённую формулу) и запиши координаты дырки — она понадобится в ответе.

Считаем пересечения с прямой

Второй шаг — наложить прямую и приравнять. Прямая в этом подвиде почти всегда одна из двух: наклонная $y = k x$ через начало координат или горизонтальная $y = m .$

ВАЖНОЕ

Прямая y = kx

k x = \frac{1}{x} \Rightarrow k x^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{k} .

При $k ⩽ 0$ решений нет — прямая гиперболу $y = \frac{1}{x}$ не пересекает. При $k > 0$ — два корня $x = \pm \frac{1}{k},$ то есть две симметричные общие точки.

iЗАМЕЧАНИЕ

Как параметр даёт «особый» ответ

Прямая $y = k x$ и полная гипербола $y = \frac{1}{x}$ при $k > 0$ дают ровно две точки. Наш график — гипербола с дыркой, поэтому:

ровно одна общая точка получается, когда одно из двух пересечений попадает в выколотую точку (оно «исчезает», остаётся одно);
у чётной $y = - \frac{1}{∣ x ∣}$ каждый наклон задевает лишь одну ветвь, поэтому там прямая не имеет общих точек, когда единственное пересечение выколото, — плюс всегда добавляется $k = 0$ (ось $O x$ график не достаёт).

Горизонтальная прямая $y = m$ появляется у сдвинутых гипербол вида $y = n - \frac{1}{x} .$ Тут два «особых» значения: $m = n$ (прямая совпадает с горизонтальной асимптотой — пересечения нет) и то $m,$ при котором прямая проходит через выколотую точку.

Алгоритм решения

Как решать гиперболу в задании 22

1. Разложи знаменатель на множители (вынеси общий множитель или разложи трёхчлен).
2. Сократи дробь и выпиши упрощённую формулу ( $\frac{1}{x},$ $- \frac{1}{∣ x ∣}$ или сдвинутую гиперболу).
3. Найди область определения ДО сокращения: приравняй исходный знаменатель к нулю. Каждый лишний корень — выколотая точка. Посчитай её ординату по упрощённой формуле.
4. Построй график гиперболы и выколи найденные точки пустыми кружками.
5. Приравняй прямую к функции ( $k x = \dots$ или $m = \dots$ ) и разбери число корней по параметру.
6. Учти дырки и асимптоту: пересечение в выколотой точке не считается; $y = m$ вдоль горизонтальной асимптоты не пересекает. Собери все подходящие значения.
7. Запиши ответ — все значения через ;, десятичные с запятой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Формат ответа. Десятичные — через запятую: $k = 6, 25,$ а не $k = 6.25 .$ Несколько значений разделяй ;.
Ось $O x$ при $y = k x .$ Значение $k = 0$ (сама ось абсцисс) легко забыть — а для функций $y = - \frac{1}{∣ x ∣}$ оно всегда в ответе.
Обе дырки. У функций с $∣ x ∣$ выколотых точек две — не потеряй симметричную.
Горизонтальная асимптота. У $y = n - \frac{1}{x}$ прямая $y = n$ не пересекает график — это отдельное значение, отличное от дырки.
Знак ветви. У $y = - \frac{1}{∣ x ∣}$ график весь ниже оси $O x :$ наклонная $y = k x$ с $k > 0$ задевает только левую ветвь, с $k < 0$ — только правую. Не приписывай пересечение «не той» ветви.

Примеры

ПРИМЕР 1

Ровно одна точка

Постройте график функции

y = \frac{x - 3}{x ^{2} - 3 x} .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

ПРИМЕР 2

Функция с модулем

Постройте график функции

y = \frac{3∣ x ∣ - 1}{∣ x ∣ - 3 x ^{2}} .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек.

График y=-1/|x| с двумя выколотыми точками

ПРИМЕР 3

Сдвинутая гипербола и прямая y = m

Постройте график функции

y = 5 - \frac{x + 5}{x ^{2} + 5 x} .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Гипербола y=5-1/x с асимптотами и выколотой точкой

Отработка

Гиперболы «набиваются» быстро: механика всегда одна — сократить, выколоть, приравнять. Прорешай побольше, чтобы не терять дырки и ось $O x :$

Подборка по теме: Гиперболы (Задание 22)
Все задачи типа: Задание 22 ОГЭ

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Всегда выписывай область определения ДО сокращения — это единственный способ не проглядеть выколотую точку. На чистовике построй гиперболу, отметь дырки пустыми кружками и подпиши их координаты: эксперт по этому чертежу видит, что ты понял суть, и ставит баллы за логику разбора даже без финального ответа.