Гиперболы — ОГЭ

Гиперболы (Задание 11)

В задании 11 гипербола — самый узнаваемый из трёх графиков. Прямую можно спутать с прямой, одну параболу — с другой, а гиперболу не спутаешь ни с чем: это две отдельные ветви, которые прижимаются к осям координат, но никогда их не касаются. Если на картинке ты видишь две такие «дуги» в противоположных углах — это график обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x},$ и дальше остаётся решить один-единственный вопрос: в каких четвертях лежат ветви.

Этот конспект — только про гиперболу: как узнать её среди других графиков, как по знаку $k$ определить четверти и как различить две гиперболы между собой. Общий разбор задания 11 (прямые, параболы, формат ответа) — в конспекте типа; здесь идём глубже именно по этой подтеме.

Что такое гипербола

ВАЖНОЕ

Обратная пропорциональность

y = \frac{k}{x}, k \neq = 0

График — гипербола: две ветви в противоположных четвертях. Оси координат служат асимптотами — линиями, к которым ветви бесконечно приближаются, но не пересекают их.

Почему график не касается осей? В формуле $x$ стоит в знаменателе, поэтому:

при $x = 0$ функция не определена (на ноль делить нельзя) — значит, график не пересекает ось $O y;$
значение $y = 0$ не достигается ни при каком $x$ (дробь $\frac{k}{x}$ не бывает нулём) — значит, график не пересекает и ось $O x .$

Отсюда и «прижимается, но не касается»: чем дальше от начала координат, тем ближе ветвь к оси.

Гипербола y=k/x при k>0: ветви в I и III четвертях

iЗАМЕЧАНИЕ

Знак

k

решает всё

Форма у всех гипербол одинаковая — различает их только знак коэффициента $k :$

$k > 0$ — ветви в I и III четвертях (правая-верхняя и левая-нижняя);
$k < 0$ — ветви во II и IV четвертях (левая-верхняя и правая-нижняя).

Мнемоника: при $k > 0$ бери $x = 1,$ тогда $y = k > 0$ — точка $(1; k)$ в первой четверти, значит и вся ветвь там. При $k < 0$ та же точка $(1; k)$ уходит вниз, в четвёртую четверть.

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как опознать и разобрать гиперболу

1. Узнай гиперболу по форме. Две отдельные ветви в противоположных углах, прижатые к осям, — это $y = \frac{k}{x} .$ Ни прямая, ни парабола так не выглядят (у них график сплошной).
2. По формуле определи знак $k .$ В $y = \frac{k}{x}$ коэффициент $k$ стоит в числителе. $k > 0$ — ветви в I и III четвертях; $k < 0$ — во II и IV.
3. Сопоставь с картинкой по четвертям. Найди на рисунке гиперболу, ветви которой лежат в нужных четвертях. Достаточно посмотреть на одну ветвь — вторая всегда симметрична ей через начало координат.
4. Если гипербол две — различай по $∣ k ∣ .$ Чем больше $∣ k ∣,$ тем дальше ветви отходят от начала координат. Проверь контрольной точкой: подставь $x = 1,$ получишь $y = k$ — где эта точка выше, там гипербола с бо́льшим $∣ k ∣ .$
5. Запиши ответ цифрами в порядке букв А, Б, В — без пробелов и запятых.

✓СОВЕТ

Контрольная точка

x = 1

Самая быстрая проверка для гиперболы: подставь $x = 1,$ тогда $y = k .$ Точка $(1; k)$ сразу показывает и четверть (по знаку $k$ ), и насколько ветвь далеко от осей (по величине $k$ ). Для $y = \frac{6}{x}$ это $(1; 6),$ для $y = \frac{1}{x}$ — $(1; 1) :$ первая ветвь заметно выше.

Типичные ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутать четверти из-за знака

Ошибка: увидеть в числителе число и, не глядя на его знак, записать «I и III».
Правильно: сначала определи знак $k .$ У $y = - \frac{9}{x}$ коэффициент $k = - 9 < 0$ — ветви во II и IV, а не в I и III. Минус в числителе переносит гиперболу в другую пару четвертей.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Гипербола — это не парабола

Обе кривые «изогнутые», но парабола — одна сплошная линия (чашка или купол), а гипербола — две разорванные ветви в разных углах. Если линия одна и непрерывная — это парабола $y = a x^{2} + b x + c;$ если график распадается на две части у осей — гипербола $y = \frac{k}{x} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ к заданию 11 — три цифры подряд в порядке букв А, Б, В (например, 321), без пробелов и запятых. Задание оценивается целиком: одна перепутанная цифра — и весь балл потерян. Не переставляй номера местами.

Разбор задач

ПРИМЕР 1

Смесь: гипербола, прямая, парабола

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А)	$y = - \frac{9}{x}$	Б)	$y = \frac{1}{3} x + 1$	В)	$y = - 2 x^{2} - 10 x - 13$

ГРАФИКИ

Парабола ветвями вниз слева от Oy, пологая возрастающая прямая через (0;1), гипербола во II и IV четвертях

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

ПРИМЕР 2

Гипербола в I и III четвертях

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А)	$y = \frac{1}{x}$	Б)	$y = x + 1$	В)	$y = 2 x^{2} + 14 x + 24$

ГРАФИКИ

Гипербола в I и III четвертях, прямая через (0;1) и (-1;0), парабola ветвями вверх с вершиной слева

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Что запомнить

Гипербола — две ветви у осей. Оси координат — асимптоты: график к ним прижимается, но не пересекает (при $x = 0$ функция не определена).
Знак $k$ задаёт четверти. $k > 0$ — I и III; $k < 0$ — II и IV. Проверяй точкой $(1; k) .$
Две гиперболы различай по $∣ k ∣ .$ Больше $∣ k ∣$ — ветви дальше от начала координат.
Формулы гиперболы в справочных материалах нет — правило про четверти учи наизусть.
Ответ — три цифры в порядке А, Б, В, без пробелов.

Отработка

Закрепи навык на задачах банка: все задачи типа 11.

Подборка ровно по этой подтеме: Гиперболы.