Геометрическая прогрессия — ОГЭ

Геометрическая прогрессия (Задание 14)

В конспекте по всему заданию 14 ты уже видел: любая задача сводится к арифметической или геометрической прогрессии. Здесь разберём только геометрическую — и разберём глубже, потому что именно она даёт самые «пугающие» на вид сюжеты: распад изотопа, размножение бактерий, отскоки мячика, проценты по вкладу. На самом деле за всеми ними одна короткая идея.

Геометрическая прогрессия — это когда каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$ (знаменатель). Не прибавлением, как в арифметической, а именно умножением. Как только ты слышишь «уменьшается вдвое», «увеличивается в 3 раза», «растёт на 8% каждый год» — перед тобой геометрия.

Рост и убывание геометрической прогрессии

Две формулы этого топика

Обе формулы есть в справочных материалах КИМ — на экзамене их выдают на отдельном листе. Учить наизусть не обязательно, но надо без запинки понимать, что куда подставлять.

ВАЖНОЕ

Формула n-го члена

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

$b_{1}$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — номер искомого члена. Ключевая деталь: показатель степени — это $(n - 1),$ а не $n .$ От первого члена до $n$ -го умножаем на $q$ ровно на один раз меньше, чем номер.

(есть в справочных материалах КИМ)

ВАЖНОЕ

Сумма первых n членов

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

Нужна, когда спрашивают «сколько всего» за все шаги сразу. В задании 14 встречается реже, чем формула члена, но знать её обязательно.

(есть в справочных материалах КИМ)

Главный приём: считай шаги, а не время

Почти все сюжеты этого топика устроены одинаково: величина меняется в $q$ раз не каждую минуту, а каждые несколько минут (или лет, или прыжков). Поэтому сначала находят, сколько раз произошло умножение, и только это число ставят в показатель.

Как решать геометрию в задании 14

1. Убедись, что это геометрия. В условии «в столько-то раз», «вдвое», «на столько-то процентов каждый раз» — знаменатель $q$ постоянный.
2. Выпиши $b_{1}$ и $q .$ Первый член — начальное значение. $q > 1$ — рост, $0 < q < 1$ — убывание (например, «вдвое меньше» — это $q = \frac{1}{2}$ ).
3. Посчитай число шагов $n .$ Раздели общее время на длину одного шага: за $42$ минуты при шаге $6$ минут проходит $n = 42 : 6 = 7$ умножений.
4. Подставь в формулу члена $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ — или сразу $b_{1} \cdot q^{число шагов},$ если начальное значение считаешь «нулевым» моментом (см. ловушку ниже).
5. Посчитай и проверь цепочкой. Пройди прогрессию руками ( $640 \to 320 \to \dots$ ) — это надёжная страховка от ошибки в степени.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Степень — это число шагов, а не всё время

Если масса делится пополам каждые $6$ минут, то за $42$ минуты множитель — $q^{7}$ (семь делений), а не $q^{42} .$ Сначала $n = 42 : 6 = 7,$ потом степень. Это ошибка №1 в этом топике.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Начальный момент» уже дан — не сдвигай нумерацию

В задачах про распад и рост начальная масса — это значение до первого умножения. Через $n$ шагов масса равна $b_{1} \cdot q^{n},$ где $n$ — число шагов. Проще всего не путаться с индексами: посчитай число умножений и возведи $q$ ровно в эту степень.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

В бланк — только число, без «мг» и пояснений. Дробный ответ пиши десятичной дробью с запятой: 2,5, а не 5/2 и не «2.5». Ответ вроде «мячик, 4-й прыжок» записывается просто как 4.

Разбор примеров

Все три задачи — из нашего банка ОГЭ: рост колонии ( $q > 1$ ), распад с дробным ответом ( $q < 1$ ) и «пороговая» задача про мячик.

ПРИМЕР 1

Колония микроорганизмов

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

ПРИМЕР 2

Распад изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

ПРИМЕР 3

Отскоки мячика

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

Коротко о главном

iЗАМЕЧАНИЕ

Что забрать с собой

Геометрия — это умножение на постоянное $q;$ проценты и «во столько-то раз» — тоже сюда.
Обе формулы ( $b_{n}$ и $S_{n}$ ) есть в справочном листе КИМ — не память, а аккуратная подстановка.
Сначала число шагов $n = всё время : длина шага,$ потом степень.
В пороговых задачах («при каком прыжке…») просто выписывай члены по одному, пока не перейдёшь границу.
Задание 14 — целиком алгебра из первой части. Но помни общее правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19) — лёгкие алгебраические баллы важны, но геометрию пропускать нельзя.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

Подборка по этой под-теме: Геометрическая прогрессия
Все задачи типа: Задание 14 — задачи на прогрессии