Задание 14: Задачи на прогрессии — ОГЭ

Задачи на прогрессии (Задание 14)

Задание 14 — это короткая текстовая задача, которую всегда можно свести к одной из двух числовых последовательностей: арифметической или геометрической прогрессии. За рядами кресел в амфитеатре, распадом изотопа или вкладом в банке прячется одна и та же математика: числа идут по строгому правилу, и по этому правилу можно найти любой член или сумму сразу нескольких.

Хорошая новость: все нужные формулы выданы тебе прямо на экзамене — они есть в справочных материалах КИМ. Значит, зубрить их наизусть не обязательно, но надо уверенно понимать, что в них подставлять. Разберёмся, как отличать один тип прогрессии от другого и как за минуту получить ответ.

Внутри задания встречаются две под-темы:

Арифметическая прогрессия — каждый следующий член больше или меньше предыдущего на одно и то же число (разность $d$ ).
Геометрическая прогрессия — каждый следующий член в одно и то же число раз больше или меньше предыдущего (знаменатель $q$ ).

Арифметическая и геометрическая прогрессии — сравнение

Как отличить прогрессии друг от друга

iЗАМЕЧАНИЕ

Ключевой вопрос

Спроси себя: соседние члены отличаются на одинаковое число или отличаются в одинаковое число раз?

Прибавляем (или вычитаем) одно и то же — арифметическая: «на 3 места больше», «на 200 рублей больше каждый месяц».
Умножаем (или делим) на одно и то же — геометрическая: «уменьшается вдвое», «вырастает на 10% в год» (это умножение на $1, 1$ ).

Арифметическая прогрессия

Задаётся первым членом $a_{1}$ и разностью $d .$ Каждый следующий член: $a_{n} = a_{n - 1} + d .$

ВАЖНОЕ

Формула n-го члена

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Здесь $n$ — номер члена. Обрати внимание: прибавляем $d$ не $n$ раз, а $(n - 1)$ раз — от первого члена до $n$ -го «шагов» на один меньше.

(есть в справочных материалах КИМ)

ВАЖНОЕ

Сумма первых n членов

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n или S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Первый вариант удобен, когда известны и первый, и последний члены. Второй — когда знаешь $a_{1}$ и $d,$ но последний член ещё не считал.

(в справочных материалах КИМ есть первая формула; вторую легко получить из неё, подставив $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ )

Геометрическая прогрессия

Задаётся первым членом $b_{1}$ и знаменателем $q .$ Каждый следующий член: $b_{n} = b_{n - 1} \cdot q .$

ВАЖНОЕ

Формула n-го члена

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Степень тоже $(n - 1) :$ до $n$ -го члена умножаем на $q$ ровно $(n - 1)$ раз.

(есть в справочных материалах КИМ)

ВАЖНОЕ

Сумма первых n членов

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

(есть в справочных материалах КИМ)

Геометрическое убывание — деление пополам

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 14

1. Определи тип. Соседние члены отличаются на одинаковое число — арифметическая; в одинаковое число раз — геометрическая.
2. Выпиши данные. Первый член ( $a_{1}$ или $b_{1}$ ), шаг ( $d$ или $q$ ) и что нужно найти: конкретный член или сумму.
3. Найди число членов $n .$ В «сюжетных» задачах его часто надо вычислить: например, за $28$ минут при шаге $7$ минут проходит $n = 28 : 7 = 4$ этапа.
4. Подставь в нужную формулу из справочного листа. Ищешь один член — формула $n$ -го члена; ищешь «сколько всего» — формула суммы.
5. Посчитай и проверь единицы. Ответ должен быть в тех единицах, что просят в условии (места, миллиграммы, рубли).

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Степень и разность считаются

(n - 1)

раз, а не

n

Ошибка: взять $a_{n} = a_{1} + n \cdot d$ или $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n} .$
Правильно: показатель и множитель — это $(n - 1) :$ от первого члена до $n$ -го ровно на один шаг меньше, чем номер. Для $5$ -го члена прибавляем $d$ четыре раза.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Считай число этапов, а не время

В задачах про распад и рост $n$ — это количество шагов, а не минуты или годы. Если масса делится пополам каждые $7$ минут, то за $28$ минут проходит $n = 28 : 7 = 4$ деления, и множитель — $q^{4},$ а не $q^{28} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

В ответ пиши только число, без единиц измерения и пояснений: 341, а не «341 место». Если ответ дробный — десятичная запятая, а не дробь: 12,5. Целый ответ округлять или дописывать нули не нужно.

Разбор примеров

Три задачи ниже — прямо из нашего банка ОГЭ. Первая на арифметическую сумму, вторая и третья — на геометрическое убывание с разным числом этапов.

ПРИМЕР 1

Места в амфитеатре

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

ПРИМЕР 2

Распад изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

ПРИМЕР 3

Тот же распад, другой шаг

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Как не потерять этот балл

Время: 3-5 минут. Задание 14 — гарантированный первичный балл в первой части, его нельзя дарить.
Сначала тип: прежде чем хвататься за формулу, реши — прибавляют или умножают. Это определяет всё дальнейшее.
Проверяй прикидкой: для суммы 11 рядов по ~16-46 мест логичный ответ — сотни, а не единицы. Абсурдный по масштабу ответ — сигнал об ошибке.
Формулы под рукой: все четыре формулы прогрессий есть в справочном листе КИМ — не трать нервы на память, лучше внимательно подставляй.

iЗАМЕЧАНИЕ

Про порог по геометрии

Задание 14 — из первой части и целиком алгебраическое. Но помни про общее правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15-19). Лёгкие алгебраические баллы вроде задания 14 важны, но геометрию пропускать нельзя — без неё положительной отметки не будет.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

Все задачи типа: Задание 14 — задачи на прогрессии
Подборка по под-теме: Арифметическая прогрессия
Подборка по под-теме: Геометрическая прогрессия