Задачи на движение по воде — ОГЭ

Задачи на движение по воде (Задание 21)

Это один из четырёх сюжетов задания 21 — и, пожалуй, самый узнаваемый. Как только в условии появляются слова «по течению», «против течения», «баржа», «теплоход», «плот» или «моторная лодка» — ты в задаче на движение по воде. Здесь почти всегда получается дробное уравнение, которое сводится к квадратному, поэтому решение выходит длиннее, чем в задачах на движение по прямой. Зато и структура у них очень типовая: разобравшись с двумя-тремя, ты будешь щёлкать их по шаблону.

Главная идея топика — у лодки две скорости складываются или вычитаются. Есть собственная скорость (скорость в неподвижной, стоячей воде) и скорость течения реки. По течению река помогает — скорости складываются; против течения мешает — вычитаются. Всё остальное — та же связь «путь = скорость × время», что и в обычном движении.

Опорные формулы топика

Общую формулу $s = v \cdot t$ и «золотой треугольник» мы разобрали в конспекте задания 21 — тут они тоже работают. Ниже только то, что специфично для воды.

ВАЖНОЕ

Скорость по течению и против течения

Пусть собственная скорость (в стоячей воде) равна $v,$ скорость течения — $u .$ Тогда

v_{по течению} = v + u, v_{против течения} = v - u .

Течение всегда $u > 0$ и всегда меньше собственной скорости лодки: $v > u$ — иначе против течения лодка вообще не сдвинется.

ВАЖНОЕ

Скорость плота

У плота, бревна, льдины нет собственной скорости — они просто плывут по течению. Значит, их скорость равна скорости течения:

v_{плота} = u .

iЗАМЕЧАНИЕ

Что даёт справочный лист

Формул движения по воде в справочных материалах ОГЭ нет — их надо помнить. А вот формула корней квадратного уравнения $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ в справочных материалах есть: наизусть учить не обязательно, но пользоваться ей быстро — обязательно, потому что почти каждое такое уравнение решается через дискриминант. Теоремы Виета в листе нет — если решаешь через неё, держи её в голове.

Три сюжета движения по воде

Уравнение всегда собирается из времени. Отличается только то, что известно про время.

iЗАМЕЧАНИЕ

Сюжет 1. Туда и обратно за общее время

Лодка прошла $a$ км по течению и $b$ км против (или наоборот), всё заняло $T$ часов. Складываем времена участков:

\frac{a}{v + u} + \frac{b}{v - u} = T .

iЗАМЕЧАНИЕ

Сюжет 2. Разница времён

Одинаковый путь $S$ туда и обратно; сказано, что один путь на $Δ t$ часов дольше другого. Вычитаем времена (из большего меньшее):

\frac{S}{v - u} - \frac{S}{v + u} = Δ t .

Против течения всегда дольше, поэтому первым ставим именно его.

iЗАМЕЧАНИЕ

Сюжет 3. Плот и лодка

Плот и лодка стартуют с разницей во времени; лодка проходит путь туда-обратно. Сначала по пути плота находишь время ( $t = \frac{путь плота}{u}$ ), учитываешь разницу старта — получаешь время движения лодки $T,$ и дальше это сюжет 1.

✓СОВЕТ

Стоянка «съедает» время

Если теплоход где-то стоял $c$ часов, то на само движение осталось $T - c$ часов — именно это число ставь в правую часть уравнения, а не полное время рейса.

Алгоритм решения

Как решать движение по воде

1. Обозначь собственную скорость лодки буквой (например, $v$ ) и сразу запиши ограничение $v > u .$
2. Выпиши скорости: по течению $v + u,$ против течения $v - u;$ у плота — $u .$
3. Определи сюжет (сумма времён / разность времён / плот) и составь уравнение по времени.
4. Умножь обе части на общий знаменатель $(v + u) (v - u) = v^{2} - u^{2}$ — дроби исчезнут.
5. Приведи к квадратному уравнению и реши через дискриминант (формула — в справочных материалах) или по теореме Виета.
6. Отбрось корень, который не подходит: скорость положительна и больше $u .$ Запиши в бланк только число.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не тот корень

Квадратное уравнение почти всегда даёт два корня, из которых один отрицательный. Скорость лодки положительна и больше скорости течения, поэтому отрицательный (а иногда и слишком маленький) корень отбрасывают. Явно напиши, почему второй корень не годится — эксперт снимает балл, если этого нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

В бланк идёт только число, без «км/ч». Если получилась десятичная дробь — пиши её через запятую ( $15, 5,$ а не $15.5$ ). Обыкновенную дробь в ответе не оставляй, доведи до конца.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Спрашивают собственную скорость, а не по течению

Частая обидная ошибка: нашёл $v = 17$ и в спешке приписал $+ 5 .$ Перечитай вопрос — почти всегда просят именно собственную скорость (в неподвижной воде), то есть само $v .$

Разбор задач

Три задачи из нашего банка — по одной на каждый сюжет.

ПРИМЕР 1

Туда и обратно за общее время

Баржа прошла по течению реки 88 км и, повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

ПРИМЕР 2

Разница времён

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

ПРИМЕР 3

Плот и лодка

Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Отработка

Разобрал теорию — закрепи на реальных вариантах ОГЭ из банка.

Коллекция топика: Задачи на движение по воде
Все задачи задания 21: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-21