Движение по прямой — ОГЭ

Движение по прямой (Задание 21)

В общем конспекте задания 21 ты видел четыре сюжета текстовых задач. Здесь разбираем один из них подробно — движение по прямой дороге. Это самый частый сюжет: машины едут по трассе, поезд обгоняет пешехода, велосипедист катит из города в город и обратно.

Всё держится на одной связке — $s = v \cdot t .$ Но внутри этого сюжета есть свои повороты, на которых чаще всего и теряют баллы:

разные скорости у двух участников — кто-то быстрее на столько-то км/ч и приезжает раньше на столько-то часов (получается квадратное уравнение);
относительная скорость — поезд обгоняет пешехода или два тела сближаются; тут скорости складывают или вычитают, а ещё переводят км/ч в м/с;
средняя скорость — весь путь делить на всё время, а не усреднять скорости;
туда и обратно — один и тот же путь с разными скоростями, иногда с остановкой.

Разберём каждый поворот отдельно и потренируемся на реальных задачах банка.

Опорные приёмы этого сюжета

Базовую формулу $s = v \cdot t$ ты уже знаешь из конспекта типа. Здесь — то, что нужно именно для прямолинейного движения. Ни одна из этих формул не входит в справочные материалы ОГЭ — держи их в голове. А вот формула корней квадратного уравнения в справочных материалах есть, и она тут постоянно нужна.

ВАЖНОЕ

Относительная скорость

Два тела движутся по одной прямой. Насколько быстро расстояние между ними меняется, показывает относительная скорость:

v_{отн} = v_{1} - v_{2} (в одном направлении), v_{отн} = v_{1} + v_{2} (навстречу) .

Если едут в одну сторону, быстрый догоняет медленного со скоростью-разностью. Если навстречу — сближаются со скоростью-суммой.

Относительная скорость: в одну сторону и навстречу

ВАЖНОЕ

Перевод км/ч в м/с

1 км / ч = \frac{1000 м}{3600 с} = \frac{5}{18} м / с .

Чтобы перевести км/ч в м/с — умножай на $\frac{5}{18};$ обратно, из м/с в км/ч — умножай на $3, 6 .$

ВАЖНОЕ

Тело проходит мимо / длина поезда

Когда поезд длиной $L$ проезжает мимо пешехода (точки), он относительно этого пешехода проходит ровно свою длину:

L = v_{отн} \cdot t .

Скорость бери относительную (поезд и пешеход — в одном направлении), а время и длину — в согласованных единицах (секунды и метры).

ВАЖНОЕ

Средняя скорость

v_{ср} = \frac{s _{весь}}{t _{всё}} .

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Если участки заданы длинами — время каждого считаешь как $\frac{s _{i}}{v _{i}}$ и складываешь. Никогда не усредняй сами скорости.

Алгоритм

Как решать задачу на движение по прямой

1. Пойми, какой это поворот сюжета: разные скорости двух участников, относительная скорость (обгон/встреча), средняя скорость или путь туда-обратно.
2. Введи неизвестное — обычно неизвестную скорость (или путь, если он не задан и сокращается). Запиши единицы.
3. Заполни табличку «объект — скорость — время — путь»: строки это участки или участники, в каждой строке связь $s = v \cdot t .$
4. Составь уравнение по тому, что связывает строки: разность времён, равенство времён, сумма времён, длина поезда.
5. Реши уравнение. Разность/сумма дробей приводит к квадратному — используй дискриминант (формула корней в справочных материалах).
6. Отбери корень по смыслу (скорость положительна, иногда больше заданного порога) и запиши число в нужных единицах.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Единицы: км/ч и м/с

В задачах про поезд ответ просят в метрах, а скорости даны в км/ч. Сначала переведи относительную скорость в м/с (умножь на $\frac{5}{18}$ ), и только потом умножай на время в секундах. Если перемешать км/ч и секунды — получишь бессмысленное число.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Средняя скорость — не среднее арифметическое

Если полпути ехали $69$ км/ч, а полпути $111$ км/ч, средняя скорость не равна $\frac{69 + 111}{2} = 90 .$ На медленном участке уходит больше времени, поэтому средняя всегда ближе к меньшей скорости. Считай только через весь путь и всё время.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа и лишний корень

В бланк идёт только число, без «км/ч» и «м». Десятичную дробь пиши через запятую: $61, 5,$ а не $61.5 .$ Квадратное уравнение даёт два корня — отрицательный (а иногда и слишком маленький по условию) отбрасывай и явно пиши, почему: за пропущенное обоснование эксперт снимает балл.

Разбор задач

Три реальные задачи банка: относительная скорость с переводом единиц, разность времён с квадратным уравнением и средняя скорость по участкам.

ПРИМЕР 1

Поезд мимо пешехода

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

ПРИМЕР 2

Разные скорости двух машин

Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ПРИМЕР 3

Средняя скорость по участкам

Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Отработка

Разобрал приёмы — закрепи на реальных вариантах банка:

Коллекция по этому сюжету: Движение по прямой
Все задачи задания 21: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-21