Длины сторон — ОГЭ

Длины сторон (Задание 18)

Это самый прямолинейный подвид задания 18. Тебе дают фигуру на клетчатой бумаге (клетка $1 \times 1$ ) — прямоугольный треугольник, ромб, параллелограмм — и просят найти длину какого-то отрезка: стороны, катета, диагонали, а иногда — отношение двух отрезков. Никаких площадей и средних линий, только длина.

Внутри задания 18 «длины сторон» стоят особняком, потому что фигуры здесь почти всегда развёрнуты «по сетке»: катеты прямоугольного треугольника и диагонали ромба идут ровно вдоль линий клеток. А значит, в большинстве задач считать вообще ничего не надо — достаточно сосчитать клетки. Формула нужна только там, где спрашивают наклонную сторону или отношение отрезков.

Разберём по порядку три ситуации, которые тебе встретятся: длина вдоль сетки, длина наискосок и отношение отрезков.

Длина вдоль сетки: просто считаем клетки

Если отрезок лежит вдоль линии сетки (горизонтально или вертикально), его длина равна числу клеток, которые он проходит. Клетка $1 \times 1$ — это готовая линейка.

ВАЖНОЕ

Длина отрезка вдоль сетки

ℓ = (число клеток вдоль отрезка) \cdot 1

Так находят катеты прямоугольного треугольника и диагонали ромба: на решётке их специально рисуют вдоль линий клеток.

Катеты треугольника и диагонали ромба идут вдоль линий сетки

✓Что здесь длина, а что диагональ

Читай вопрос буквально. «Больший катет» — это длинная из двух сторон при прямом угле. «Большая диагональ» ромба — длинная из двух отрезков, соединяющих противоположные вершины. Обе величины идут по сетке, так что ответ — просто число клеток.

Длина наискосок: теорема Пифагора

Если отрезок идёт наклонно (например, сторона ромба или гипотенуза), клетки вдоль него не считаются. Достраиваем прямоугольный треугольник: через один конец проводим горизонталь, через другой — вертикаль. Катеты пойдут по клеткам, а сам отрезок станет гипотенузой.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

c = a^{2} + b^{2}

$a$ и $b$ — катеты (считаем по клеткам), $c$ — наклонный отрезок. Эта формула есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но подставлять в неё надо уметь быстро.

✓Пифагоровы тройки

Часто катеты дают «красивую» тройку с целой гипотенузой: $3 - 4 - 5,$ $6 - 8 - 10,$ $5 - 12 - 13,$ $8 - 15 - 17 .$ Увидел катеты $3$ и $4$ — сторона равна $5$ без вычислений. Если тройка «некрасивая», длина останется под корнем: $3^{2} + 1^{2} = 10 .$

У ромба это связывает диагонали и сторону: половины диагоналей — как раз катеты, а сторона — гипотенуза. Например, при диагоналях $8$ и $6$ полудиагонали равны $4$ и $3,$ значит сторона $a = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5 .$ Этим удобно проверять, что фигура действительно ромб (все четыре стороны равны).

Сторона ромба через половины диагоналей по теореме Пифагора

Отношение отрезков: подобие и теорема Фалеса

Иногда просят не длину, а во сколько раз один отрезок больше другого. Когда точка делит наклонный отрезок и лежит на линии сетки, отношение частей равно отношению их горизонтальных (или вертикальных) смещений по клеткам.

ВАЖНОЕ

Отношение отрезков на секущей

Параллельные линии сетки отсекают на наклонной прямой отрезки, пропорциональные расстояниям между линиями (теорема Фалеса):

\frac{A M}{M C} = \frac{клеток от A до M}{клеток от M до C}

Точка M делит наклонный отрезок AC — отношение по клеткам

Алгоритм решения

Как найти длину в задании 18

1. Прочитай, что именно ищут: катет, диагональ, сторону или отношение. От этого зависит приём.
2. Проверь, идёт ли отрезок вдоль сетки. Если да — сосчитай клетки, это и есть длина.
3. Если отрезок наклонный — дострой прямоугольный треугольник, посчитай катеты по клеткам и найди гипотенузу Пифагором.
4. Если спрашивают отношение — найди смещения частей по клеткам и составь дробь; лишние линии сетки покажут, где делится отрезок.
5. Запиши ответ в нужном формате: целое число, а если длина иррациональна — оставь под корнем в том виде, что просят.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

На чём теряют балл

Сторона ≠ диагональ. В ромбе диагонали идут по сетке (их считают по клеткам), а сторона — наклонная (её ищут Пифагором). Спутаешь — возьмёшь не тот отрезок.
«Больший» и «меньший». В вопросе про «больший катет» или «большую диагональ» сравни оба и выбери длинный. Частая потеря балла — записать первый попавшийся.
Наклонное на глаз не считают. Длину наклонного отрезка нельзя «прикинуть» по клеткам вдоль него — только через прямоугольный треугольник. Визуально наклонные линии обманчивы.
Ответ под корнем. Если тройка катетов «некрасивая», длина останется иррациональной ( $10,$ $25$ ). Не округляй самовольно.
Формат. Ответ — число без единиц. Десятичную дробь пиши через запятую: $2, 5,$ а не $2.5 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 18 — геометрическое и стоит в первой части, где балл берётся легко. Помни правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Клетчатые задачи 15–19 — самый доступный способ закрыть этот порог, поэтому терять здесь баллы нельзя.

Примеры решения задач

Три примера идут от простого к составному: сначала прямой подсчёт по клеткам, потом длина с проверкой стороны Пифагором, в конце — отношение отрезков через подобие.

ПРИМЕР 1

Больший катет

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Прямоугольный треугольник на клетчатой бумаге, катеты вдоль линий сетки

ПРИМЕР 2

Большая диагональ ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Ромб на клетчатой бумаге, диагонали вдоль линий сетки

ПРИМЕР 3

Отношение отрезков

На клетчатой бумаге изображён треугольник $A B C .$ Во сколько раз отрезок $A M$ короче отрезка $C M ?$

Треугольник ABC на клетчатой бумаге, точка M на стороне AC

Что запомнить

Вдоль сетки — считай клетки. Катеты и диагонали ромба специально рисуют по линиям, длина = число клеток.
Наискосок — Пифагор. Наклонную сторону достраивай до прямоугольного треугольника; теорема Пифагора есть в справочных материалах КИМ.
Сторона ромба связана с половинами диагоналей через Пифагор — этим же проверяют, что фигура ромб.
Отношение отрезков на секущей = отношение смещений по клеткам (теорема Фалеса).
Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию из первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на всех задачах типа: задание 18 целиком.

Отточи именно длины сторон: коллекция «Длины сторон».