Диаграммы событий, деревья вероятностей — ОГЭ

Диаграммы событий, деревья вероятностей (Задание 10)

Это особый подвид задания 10. Здесь тебе не рассказывают историю про билеты или карандаши — вместо текста дают готовую картинку: либо два пересекающихся овала (диаграмму Эйлера), либо ветвящуюся схему (дерево). Все нужные числа уже расставлены на рисунке, считать «сколько всего исходов» самому почти не приходится. Задача — правильно прочитать картинку и сложить (иногда перемножить) нужные числа.

Поэтому главный навык тут не арифметика, а понимание языка событий: что значит « $A$ и $B$ » (пересечение), « $A$ или $B$ » (объединение), «не $A$ » (противоположное). Разберёмся с обоими типами картинок по очереди.

Диаграммы Эйлера

Диаграмма Эйлера — это прямоугольник (все исходы опыта) и внутри него один-два овала-события. Овалы $A$ и $B$ обычно пересекаются, и прямоугольник разбивается на четыре области. Возле каждой области подписана либо её вероятность, либо число исходов.

Диаграмма Эйлера: четыре области двух событий

iЗАМЕЧАНИЕ

Язык событий — читай картинку так

$A \cap B$ (« $A$ и $B$ ») — область, где овалы пересекаются: событие в обоих сразу.
$A \cup B$ (« $A$ или $B$ ») — вся закрашенная площадь обоих овалов вместе (пересечение считаем один раз).
$A$ («не $A$ ») — всё, что вне овала $A .$
«только $A$ » — это $A \cap B :$ внутри $A,$ но вне $B .$

ВАЖНОЕ

Вероятность события — сумма по его областям

Вероятность любого события равна сумме вероятностей всех элементарных исходов (областей), которые в него входят:

P (событие) = \sum p_{i} (по всем его областям) .

Сумма вероятностей всех четырёх областей всегда равна $1$ — это удобная самопроверка.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этих формул НЕТ в справочных материалах

Обозначения $\cap,$ $\cup,$ $A$ и правило «вероятность = сумма по областям» в выданный на ОГЭ лист не входят — вероятности там нет вообще. Держи это в голове; хорошая новость — правило всего одно.

АЛГОРИТМ

Как решать задачу с диаграммой Эйлера

1. Пойми, что спрашивают. Переведи $A \cup B,$ $A \cap B$ и т.п. на «человеческий»: какие области закрашиваем.
2. Отметь нужные области на диаграмме (можно прямо на черновике).
3. Сложи их числа. Если даны вероятности — сразу сумма. Если даны количества исходов — сложи количества, а потом раздели на общее число.
4. Проверь себя: сумма всех областей = $1$ (или = общему числу исходов).

✓СОВЕТ

Хитрый приём: «от противного»

Если нужная область большая, а «лишняя» — маленькая, быстрее найти маленькую и вычесть из $1 .$ Например, $A \cup B$ не выполняется только в одной области — «только $B$ » ( $A \cap B$ ); значит $P (A \cup B) = 1 - P (A \cap B) .$

ПРИМЕР 1

Читаем вероятности с диаграммы

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $B .$

ПРИМЕР 2

Диаграмма с количеством исходов

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов ей принадлежит: «только $A$ » — 18, пересечение — 6, «только $B$ » — 12, вне обоих овалов — 24. Найдите вероятность события $A \cup B .$

Деревья вероятностей

Дерево появляется, когда опыт идёт в два шага. Из корня $S$ выходят ветки первого шага (гипотезы $A$ и $A$ ), от каждой — ветки второго шага ( $B$ и $B$ ). На каждой ветке подписана её вероятность.

ВАЖНОЕ

Умножаем вдоль ветки, складываем пути

Вероятность одного пути (цепочки «сначала одно, потом другое») — произведение вероятностей вдоль ветки:

P (путь) = p_{1} \cdot p_{2} .

Вероятность события — сумма вероятностей всех путей, ведущих к нему:

P (B) = p_{1} p_{2} + p_{3} p_{4} + \dots

iЗАМЕЧАНИЕ

Откуда берутся два пути к B

До события $B$ можно дойти двумя способами: через $A$ (путь $S \to A \to B$ ) и через $A$ (путь $S \to A \to B$ ). Поэтому итог — сумма двух произведений. Это «формула полной вероятности», но на ОГЭ достаточно правила «умножь вдоль, сложи пути».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типичные ошибки в деревьях

Не путай умножение и сложение: вдоль одной ветки — умножаем, между разными путями — складываем.
Бери только ветки, ведущие к нужному событию. Для $P (B)$ пути к $B$ не нужны.
Самопроверка: вероятности веток, выходящих из одной точки, в сумме дают $1$ ( $0, 75 + 0, 25 = 1$ ).

ПРИМЕР 3

Находим вероятность по дереву

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Из вершины $S$ выходят ветви к $A$ (вероятность $0, 75$ ) и к $A$ (вероятность $0, 25$ ); от $A$ — ветви к $B$ ( $0, 8$ ) и $B$ ( $0, 2$ ); от $A$ — ветви к $B$ ( $0, 6$ ) и $B$ ( $0, 4$ ). Найдите вероятность события $B .$

Формат ответа

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Как оформить ответ

Ответ — просто число, без единиц и слова «вероятность».
Десятичную дробь пиши через запятую: $0, 7,$ а не $0.7$ и не « $70%$ ».
Обыкновенную дробь ( $\frac{42}{60}$ ) сократи и переведи в десятичную ( $0, 7$ ), если деление точное.
Проверь: ответ обязан лежать в промежутке $0 ⩽ P ⩽ 1 .$ Число вроде $1, 3$ — сигнал ошибки.

Что запомнить

Диаграмма Эйлера: вероятность события = сумма чисел его областей; всего областей — четыре, их сумма = $1$ (или = числу исходов).
Язык событий: $\cap$ — пересечение («и»), $\cup$ — объединение («или»), $A$ — вне овала («не»).
Дерево: вдоль ветки умножай, разные пути к событию складывай.
Ни одной из этих формул нет в справочных материалах — правила простые, держи их в голове.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

Все задачи типа: Задание 10 — Статистика, вероятности
Коллекция топика: topic-diagrammy-derevya-10-oge