Числа на прямой — ОГЭ

Числа на прямой (Задание 7)

В задании 7 есть несколько разных сюжетов; этот — про то, как поставить число на координатную прямую и прочитать число с прямой. Тебе либо дают корень или дробь и спрашивают, между какими целыми оно лежит (или какой точке $A,$ $B,$ $C,$ $D$ соответствует), либо наоборот: на прямой отмечена точка $A,$ а рядом четыре числа — какое из них там стоит.

Это отличается от соседних подтем задания 7. Там сравнивают числа между собой («какое больше») или разбирают знаки букв $a,$ $b .$ Здесь же всё крутится вокруг одного навыка — быстро оценить, где число находится на прямой: сначала грубо (между какими целыми), потом точнее (в какой половине отрезка). Ответ по-прежнему не само число, а номер варианта — цифра $1$ – $4 .$

Число между двумя целыми на координатной прямой

Оценка корня соседними целыми

Главный приём топика — «зажать» подкоренное число между двумя соседними точными квадратами. Тогда и сам корень окажется между двумя соседними целыми.

ВАЖНОЕ

Корень между соседними целыми

Если $n^{2} ⩽ x ⩽ (n + 1)^{2},$ то, извлекая корень (функция $x$ возрастает при $x ⩾ 0$ ),

n ⩽ x ⩽ n + 1.

Уточнение: в какой половине отрезка

Когда на прямой стоят точки $A,$ $B,$ $C,$ $D$ и все они попадают между одними и теми же целыми, грубой оценки мало — надо понять, ближе число к левому концу отрезка или к правому. Для этого сравнивают его с серединой отрезка. И сравнивать удобно квадраты, а не приближённые значения на глаз.

ВАЖНОЕ

Сравнение с серединой отрезка

Чтобы понять, в какой половине отрезка $[m; m + 1]$ лежит $x,$ сравни $x$ с квадратом середины $(m + 0, 5)^{2} :$

x < (m + 0, 5)^{2} \Rightarrow x в левой половине, x > (m + 0, 5)^{2} \Rightarrow в правой .

✓СОВЕТ

Почему сравниваем квадраты

$x$ и $m + 0, 5$ — оба положительны, а у положительных чисел большему числу отвечает больший квадрат. Значит, сравнить $x$ с $7, 5$ — то же самое, что сравнить $x$ с $7, 5^{2} = 56, 25 .$ Это точнее, чем прикидывать корень «примерно».

Дробь на прямой через целую часть

Если на прямой точкой $A$ отмечена одна из дробей, выдели у каждой целую часть — она сразу говорит, между какими целыми стоит число, а дробный остаток — в какой части отрезка.

ВАЖНОЕ

Целая часть неправильной дроби

\frac{p}{q} = k \frac{r}{q}, где k = p : q (целое), r = p - k q (остаток).

Например, $\frac{55}{19} = 2 \frac{17}{19}$ — это число между $2$ и $3,$ почти у самого $3 .$

Принадлежность отрезку

Вопрос «какое число принадлежит отрезку $[7; 8]$ » удобно решать, приведя границы к тому же знаменателю, что и у дробей — тогда сравнение сводится к числителям.

ВАЖНОЕ

Дробь на отрезке через общий знаменатель

7 ⩽ \frac{a}{9} ⩽ 8 ⟺ \frac{63}{9} ⩽ \frac{a}{9} ⩽ \frac{72}{9} ⟺ 63 ⩽ a ⩽ 72.

Алгоритм решения

Как ставить число на прямую

1. Оцени грубо — между какими целыми. Корень зажми соседними квадратами; у дроби выдели целую часть.
2. Если точек несколько в одном отрезке — уточни половину. Сравни подкоренное число $x$ с квадратом середины $(m + 0, 5)^{2}$ или дробный остаток с $\frac{1}{2} .$
3. Сопоставь с рисунком и найди нужную точку или число.
4. Запиши номер варианта ( $1$ – $4$ ) или букву точки — а не само число.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ — номер варианта, а не число

Если нашёл, что $52$ лежит между $7$ и $8$ и это вариант $1$ — в бланк идёт $1,$ а не « $7$ » и не « $7, 2$ ». Когда спрашивают про точку, ответом бывает её номер (буква $A$ = вариант $1,$ $B$ = $2$ и т.д.) — смотри нумерацию вариантов в условии.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Половину отрезка проверяй квадратом, не «на глаз»

Соблазн сказать « $52$ это примерно $7$ с чем-то, наверное левее середины» — так легко ошибиться. Возведи середину в квадрат: $7, 5^{2} = 56, 25,$ и сравни с $52 .$ Раз $52 < 56, 25,$ значит $52 < 7, 5$ — точно левая половина.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Между какими целыми» — это не значение

Вопрос «между какими числами заключено $72$ » просит два целых соседа ( $8$ и $9$ ), а не приближённое $8, 49 .$ Не считай корень на калькуляторе в уме до третьего знака — достаточно соседних квадратов.

Примеры

ПРИМЕР 1

Корень и нужная точка

На координатной прямой отмечены точки $A,$ $B,$ $C,$ $D .$ Одна из них соответствует числу $52 .$ Какая это точка?

Координатная прямая с отметками 7, 8, 9; между 7 и 8 точки A и B, между 8 и 9 точки C и D

ПРИМЕР 2

Дробь, отмеченная точкой A

Одно из чисел $\frac{55}{19},$ $\frac{64}{19},$ $\frac{72}{19}$ и $\frac{79}{19}$ отмечено на числовой прямой точкой $A .$

Числовая прямая с равномерными штрихами, подписаны 0 и 1; точка A между третьим и четвёртым штрихами после нуля, примерно на трети отрезка от 3 к 4

Какое это число?

ПРИМЕР 3

Принадлежность отрезку

Какое из чисел $\frac{58}{9},$ $\frac{62}{9},$ $\frac{70}{9}$ и $\frac{79}{9}$ принадлежит отрезку $[7; 8] ?$

Что запомнить

Грубо, потом точно. Сначала между какими целыми (квадраты для корня, целая часть для дроби), потом — в какой половине отрезка.
Половину проверяй квадратом середины, а не прикидкой на глаз: $7, 5^{2} = 56, 25 .$
Ответ — номер варианта или буква точки, а не само число.

Отработка

Реши задачи этого типа в банке: все задания 7 ОГЭ.

Прицельно по этому сюжету — коллекция «Числа на прямой».