Четырёхугольники и их элементы — ОГЭ

Четырёхугольники и их элементы (Задание 24)

В конспекте по всему заданию 24 мы разобрали общий сценарий доказательства и главный «мотор» — окружность через равные углы. Здесь сузим фокус до одного сюжета: четырёхугольники. На экзамене это чаще всего параллелограмм или трапеция, а доказать нужно что-то про их стороны, диагонали, биссектрисы или середины сторон.

Хорошая новость: у этого подвида очень предсказуемый набор приёмов. Почти каждая задача крутится вокруг трёх идей — свойства параллелограмма, параллельность сторон даёт накрест лежащие углы и биссектриса угла. Разберём этот набор и три типовых сюжета из банка.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Порог по геометрии

Задание 24 стоит 2 балла и относится к части 2. По правилам ОГЭ для отметки выше «двойки» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию — одно аккуратно доказанное утверждение целиком закрывает этот порог. Четырёхугольники — самый «алгоритмичный» сюжет задания 24, поэтому с них удобно начинать штурм геометрической части.

Рабочий набор для четырёхугольников

ВАЖНОЕ

Свойства параллелограмма

В параллелограмме $A B C D :$

1. Противоположные стороны параллельны и равны: $A B ∥ C D,$ $A B = C D,$ $B C ∥ A D,$ $B C = A D .$
2. Противоположные углы равны, соседние — в сумме дают $18 0^{\circ} .$
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: если $O = A C \cap B D,$ то $A O = O C$ и $B O = O D .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Что из этого в справочных материалах есть, а чего нет

В выданном на экзамене листе «Справочные материалы» есть средняя линия трапеции $M N = \frac{B C + A D}{2},$ площади параллелограмма, трапеции и ромба, сумма углов выпуклого $n$ -угольника $18 0^{\circ} (n - 2)$ — этими формулами можно пользоваться, не заучивая. А вот сами свойства и признаки параллелограмма, свойство биссектрисы, признаки подобия и равенства треугольников в справочный лист НЕ входят — их надо помнить наизусть. Именно на них и строятся доказательства этого подвида.

ВАЖНОЕ

Параллельность сторон даёт накрест лежащие углы

Стороны параллелограмма (и основания трапеции) параллельны. Любой отрезок, пересекающий две параллельные прямые (диагональ, биссектриса, произвольная секущая), образует равные накрест лежащие углы:

A B ∥ C D, секущая B D \Rightarrow ∠ A B D = ∠ B D C .

Это главный способ «добыть» равный угол в четырёхугольнике.

ВАЖНОЕ

Свойство биссектрисы угла

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от прямых, содержащих его стороны. Если $P$ лежит на биссектрисе угла с вершиной $C,$ а $P K$ и $P L$ — перпендикуляры на стороны, то

P K = P L .

✓Главный приём в параллелограмме

Если в параллелограмме сторона вдвое больше соседней ( $A B = 2 A D$ ) и взята середина длинной стороны — почти всегда получается равнобедренный треугольник. Половинка длинной стороны равна короткой, треугольник равнобедренный, углы при основании равны — а дальше накрест лежащие углы превращают это в доказательство биссектрисы. Так решается целая серия задач банка (см. Пример 1).

Как строить доказательство

АЛГОРИТМ

Алгоритм для четырёхугольника

1. Крупный чертёж. Отметь параллельные стороны стрелками, равные отрезки — штрихами, биссектрисы — равными дужками углов, прямые углы — квадратиками.
2. Выпиши, что дано, в свойствах фигуры. Параллелограмм $\Rightarrow$ противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся пополам. Трапеция $\Rightarrow$ основания параллельны.
3. Добудь равный угол через накрест лежащие при параллельных сторонах — это почти всегда первый шаг.
4. Опознай мотив: равнобедренный треугольник (равные стороны $\Rightarrow$ равные углы), равные/подобные треугольники (по сторонам и углам), биссектриса (равные расстояния до сторон).
5. Собери цепочку от данного к доказываемому, каждый шаг — со ссылкой на свойство. Заверши фразой «Что и требовалось доказать».

Разбор задач

Три примера покрывают основные мотивы: биссектриса через равнобедренный треугольник, равные треугольники на диагоналях и свойство биссектрисы.

ПРИМЕР 1

Биссектриса в параллелограмме

Сторона $A B$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A D .$ Точка $L$ — середина стороны $A B .$ Докажите, что $D L$ — биссектриса угла $A D C .$

ПРИМЕР 2

Равные треугольники на диагоналях

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $A B$ и $C D$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $B P$ и $D Q$ равны.

ПРИМЕР 3

Свойство биссектрисы

Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $M,$ лежащей на стороне $B C .$ Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $A B,$ $A D$ и $C D .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Из рисунка видно»

Чертёж — только опора для мысли. Фраза «стороны равны, потому что так на рисунке» баллов не даёт. Каждый шаг обосновывай ссылкой на свойство: «диагонали параллелограмма делятся пополам», «накрест лежащие при $A B ∥ C D$ », «свойство биссектрисы».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Признак vs свойство биссектрисы

Чтобы доказать, что отрезок — биссектриса, недостаточно сказать «он делит фигуру». Нужно показать, что он делит угол на два равных угла (Пример 1) или что точка равноудалена от сторон. Не путай направление: свойство биссектрисы (точка на ней $\Rightarrow$ равноудалена) и признак (равноудалена $\Rightarrow$ на биссектрисе) — разные утверждения.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа: доказательство, а не число

В задании 24 нет числового ответа. Результат — само доказательство, записанное полными фразами и завершённое словами «Что и требовалось доказать». Оценивается логичность цепочки: 2 балла — безупречно, 1 балл — с недочётом.

Что запомнить

Параллельные стороны $\to$ накрест лежащие углы — первый шаг почти в каждой задаче.
Диагонали параллелограмма делятся пополам $\to$ равные треугольники на них.
Сторона вдвое + середина $\to$ равнобедренный треугольник $\to$ доказательство биссектрисы.
Точка на биссектрисе $\to$ равноудалена от сторон угла.
Свойства параллелограмма и биссектрисы в справочный лист не входят — учи наизусть.

Отработка

Реши задачи этого типа целиком: Задание 24 — задачи на доказательство.

Тренируй именно этот сюжет через коллекцию: Четырёхугольники и их элементы.