Четырёхугольники (Задание 25)
Внутри задания 25 подтема «четырёхугольники» — это почти всегда трапеция. Реже встречаются параллелограмм, ромб или произвольный четырёхугольник, вписанный в окружность. Ключевое отличие от «треугольного» варианта задачи: в четырёхугольнике много сторон и углов, и напролом их не свяжешь. Поэтому здесь на первый план выходит дополнительное построение — ты сам достраиваешь фигуру до треугольника, с которым уже умеешь работать.
Хорошая новость: приёмов немного, и они повторяются из варианта в вариант. Продлить боковые стороны трапеции до пересечения, провести диагонали и поймать подобие, опустить высоту из вершины меньшего основания, воспользоваться средней линией — вот весь рабочий набор. Этот конспект разбирает именно их: как по формулировке условия угадать нужное построение и довести решение до строгого ответа.
iЗАМЕЧАНИЕ
Геометрию нельзя пропустить
Задание 25 — одна из трёх геометрических задач второй части. По критериям ФИПИ для отметки выше «2» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию, поэтому даже частичные шаги здесь на вес золота. Разобрав четырёхугольники, ты закрываешь самую частотную половину задания 25.
Опорные факты и приёмы
Учи не наизусть, а «на узнавание»: в какой формулировке условия каждый факт всплывает.
ВАЖНОЕ
Средняя линия трапеции
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, параллелен основаниям и равен их полусумме:
MN=2BC+AD.Эта формула есть в справочных материалах КИМ — держать в памяти не обязательно, но узнавать среднюю линию в условии надо мгновенно.
ВАЖНОЕ
Площадь трапеции и теорема Пифагора
S=2a+b⋅h,a2+b2=c2.Обе формулы есть в справочных материалах КИМ (площади фигур и теорема Пифагора). Высоту h трапеции почти всегда находят, опустив её из вершины меньшего основания и разобрав получившийся прямоугольный треугольник.
ВАЖНОЕ
Признак вписанной окружности
В выпуклый четырёхугольник (в частности, в трапецию) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
AB+CD=BC+AD.
Этого признака нет в справочных материалах — его надо помнить самому. Для трапеции он превращается в a+b=2c: сумма оснований равна сумме боковых сторон.
ВАЖНОЕ
Признак вписанного в окружность четырёхугольника
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180∘:
∠A+∠C=180∘,∠B+∠D=180∘.Этого признака тоже нет в справочных материалах. Он всплывает, когда в условии сказано «четырёхугольник вписан в окружность».
iЗАМЕЧАНИЕ
Главный приём: продление боковых сторон
Если боковые стороны трапеции не параллельны, продли их до пересечения в точке P — получится треугольник, в который трапеция «вписана», а меньшее основание отсекает подобный треугольник. Особенно мощно, когда сумма углов при основании равна 90∘: тогда угол при вершине P прямой, и медианы к гипотенузам дают отрезки 2a и 2b.
Как подступиться к задаче
АЛГОРИТМ
Алгоритм решения
1. Сделай крупный аккуратный чертёж и отметь все данные: равные стороны, углы, параллельность оснований.
2. Опознай тип условия. «Можно вписать окружность» → AB+CD=BC+AD. «Вписан в окружность» → противоположные углы дают 180∘. «Углы при основании» + «отрезки между серединами» → продли боковые стороны. «Биссектриса проходит через середину стороны» → достраивай до треугольника через равенство.
3. Сделай дополнительное построение: продли боковую сторону или биссектрису, опусти высоту, проведи диагональ или среднюю линию.
4. Составь уравнения из подобия, теоремы Пифагора, площади. Часто получается простая система на a+b и a−b.
5. Доведи до числа и проверь. Каждый шаг обоснуй ссылкой на признак или теорему — эксперт оценивает логику, а не ответ.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Типовые потери баллов
- Нет обоснования. «Из чертежа видно» баллов не приносит: каждое равенство сторон или углов опирай на признак/теорему.
- Формат ответа. Просят «найдите основания» — выпиши оба числа, а не одно. Иррациональный ответ (102, 379) так и оставляй, не округляй без требования.
- Десятичная запятая. Получилось 1,6 — записывай через запятую, не «1.6».
- Который отрезок больше. Полусумма оснований 2a+b всегда больше полуразности 2a−b — не перепутай, какое из данных чисел чему равно.
Разобранные примеры
Три примера — три главных приёма подтемы: продление боковых сторон, дополнительное построение через биссектрису и вписанная окружность.
ПРИМЕР 1
Отрезки между серединами сторон
Углы при одном из оснований трапеции равны 80∘ и 10∘, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
ПРИМЕР 2
Биссектриса через середину боковой стороны
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
ПРИМЕР 3
Трапеция с вписанной окружностью
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Отработка
Приём распознаётся только на практике: набивай руку на том, чтобы по одной фразе условия видеть нужное построение.
- Подборка по подтеме: Четырёхугольники (задание 25).
- Все задачи типа: банк задания 25.
✓СОВЕТ
Стратегия на экзамене
Бери задание 25 последним, когда первая часть уже перенесена в бланк. Даже если не видишь решения целиком — сделай чертёж, выпиши данные и докажи хотя бы одно свойство: за верные шаги ставят частичные баллы, а именно они держат отметку выше тройки.