Четырёхугольники — ОГЭ

Четырёхугольники (Задание 23)

Из всех сюжетов задания 23 четырёхугольники — самый «конструкторский». Тебе почти никогда не дадут готовый прямоугольный треугольник: его нужно самому достроить внутри параллелограмма, ромба или трапеции. Зато сами фигуры знакомые с 8 класса, и весь фокус в том, чтобы вспомнить их свойства и превратить условие в один прямоугольный треугольник или одну пропорцию.

Здесь мы углубляем именно эту подтему: как работают свойства параллелограмма, ромба и трапеции в задачах на вычисление и какие два-три приёма закрывают почти все задания 23 про четырёхугольники. Общий разбор всего задания 23 (Пифагор, подобие, окружности) — в конспекте типа; тут — только четырёхугольники.

iЗАМЕЧАНИЕ

Зачем это на экзамене

Задание 23 стоит 2 балла, и для отметки выше «двойки» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Одно решённое до конца задание 23 закрывает этот порог целиком — поэтому четырёхугольники стоит держать в арсенале, а не пропускать.

Свойства, на которых всё держится

Площади и среднюю линию тебе выдадут в справочном листе. А вот свойства фигур нужно знать твёрдо — их в листе нет, но именно они превращают задачу в решаемую.

ВАЖНОЕ

Площади четырёхугольников

S_{параллелограмма} = ah S_{трапеции} = \frac{a + b}{2} h S_{ромба} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

где $h$ — высота, $a,$ $b$ — стороны/основания, $d_{1},$ $d_{2}$ — диагонали ромба. Все три формулы есть в справочных материалах КИМ — пользуйся листом, наизусть заучивать не обязательно.

ВАЖНОЕ

Средняя линия трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований:

m = \frac{a + b}{2}

Тоже есть в справочных материалах КИМ.

iЗАМЕЧАНИЕ

Свойства, которых НЕТ в справочном листе — учи наизусть

Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны; соседние углы в сумме дают $18 0^{\circ};$ диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Ромб: это параллелограмм, у которого все стороны равны; диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
Трапеция: основания параллельны; углы при боковой стороне — односторонние, поэтому их сумма равна $18 0^{\circ} .$

Параллелограмм, ромб и трапеция с обозначенными свойствами

Главный приём: биссектриса + параллельные стороны

Это самый частый ход в задании 23 про четырёхугольники. Как только в условии есть биссектриса угла и пара параллельных сторон — почти наверняка появляется равнобедренный треугольник.

✓Ключевая идея

Биссектриса делит угол пополам: $∠1 = ∠2 .$ Параллельные стороны дают накрест лежащие углы: $∠2 = ∠3 .$ Значит $∠1 = ∠3$ — а треугольник с двумя равными углами при основании равнобедренный. Так длина стороны фигуры «переезжает» на отрезок биссектрисы.

Биссектриса угла параллелограмма и равнобедренный треугольник

Второй приём — специально для трапеций.

✓Высоты трапеции

Если известны боковая сторона и угол при ней, опусти высоту — получишь прямоугольный треугольник, где боковая сторона это гипотенуза, а высота — катет: $h = (боковая) \cdot sin (угол) .$ Приравняв высоту, найденную через две разные боковые стороны, вытащишь неизвестную сторону. Значения $sin 3 0^{\circ},$ $sin 4 5^{\circ},$ $sin 6 0^{\circ}$ есть в справочной таблице КИМ.

Как решать

АЛГОРИТМ

Алгоритм для четырёхугольника

1. Перерисуй фигуру и подпиши все данные. Отметь равные стороны (ромб, параллелограмм), параллельные основания (трапеция), биссектрисы.
2. Выпиши нужные свойства фигуры. Все стороны ромба равны; противоположные стороны параллелограмма равны; сумма углов при боковой стороне трапеции — $18 0^{\circ} .$
3. Достраивай прямоугольный треугольник: опусти высоту на сторону или основание. Часто это единственное построение, которое нужно.
4. Ищи равнобедренный треугольник, если есть биссектриса при параллельных сторонах.
5. Составь уравнение (Пифагор, равенство высот, равенство сторон) и реши. Запиши ответ словами: «Ответ: …».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Точка на стороне — это сумма отрезков. Если высота или биссектриса делит сторону, длина стороны равна сумме кусочков (например, $C D = D H + C H$ ), а не одному из них.
Основания трапеции — параллельные стороны, а не любые «горизонтальные». Боковые — это те, что пересекаются с продолжением. Путаница здесь ломает всё решение.
Ответ пиши числом. Десятичный — через запятую: $12, 5,$ а не $12.5 .$ Иррациональный ( $132$ ) оставляй как есть, приближённо считать не нужно.
Во второй части баллы дают за обоснование. Мало написать « $A B = 17$ » — объясни, почему треугольник прямоугольный или равнобедренный. Голый ответ без решения = 0 баллов.

Разбор задач из банка

ПРИМЕР 1

Биссектриса параллелограмма и периметр

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $A B C D$ пересекает сторону $B C$ в точке $K .$ Найдите периметр параллелограмма, если $B K = 9,$ $C K = 15 .$

Параллелограмм ABCD с биссектрисой угла A, пересекающей BC в точке K

ПРИМЕР 2

Боковая сторона трапеции через высоту

Найдите боковую сторону $A B$ трапеции $A B C D,$ если углы $A B C$ и $B C D$ равны соответственно $4 5^{\circ}$ и $15 0^{\circ},$ а $C D = 26 .$

Трапеция ABCD с опущенными высотами из вершин A и D

ПРИМЕР 3

Биссектрисы при боковой стороне трапеции

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $A B$ трапеции $A B C D$ пересекаются в точке $F .$ Найдите $A B,$ если $A F = 15,$ $B F = 8 .$

Трапеция ABCD с биссектрисами углов A и B, пересекающимися в точке F

Что запомнить

Четырёхугольник почти всегда сводится к прямоугольному треугольнику — опусти высоту или найди диагональ.
Биссектриса + параллельные стороны $\to$ равнобедренный треугольник — этот приём закрывает половину задач про параллелограммы и трапеции.
Площади и среднюю линию выдают в справочном листе, а свойства фигур (равные стороны ромба, углы трапеции) — держи в голове.
Полное решение с обоснованием = 2 балла, а эти 2 балла закрывают геометрический порог отметки.

Отработка

Прорешай подборку именно по этой подтеме: Четырёхугольники (задание 23).

Все задачи типа целиком — Задание 23: геометрические задачи на вычисление.