Арифметическая прогрессия — ОГЭ

Арифметическая прогрессия (Задание 14)

В конспекте типа ты уже разобрался, чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической: здесь соседние члены отличаются на одинаковое число — разность $d .$ Теперь копнём глубже именно в этот подвид, потому что почти все задания 14 в реальных вариантах ОГЭ — как раз арифметические: ряды кресел в амфитеатре, разгон поезда, охлаждение вещества.

Внутри «арифметики» задачи делятся на три сюжета, и от того, какой перед тобой, зависит выбор формулы:

Найти один член ( $a_{n}$ ) — «сколько мест в девятом ряду», «какая температура через 6 минут». Работает формула $n$ -го члена.
Найти сумму ( $S_{n}$ ) — «сколько всего мест», «сколько метров прошёл поезд за 8 секунд». Работает формула суммы.
Восстановить прогрессию по двум членам — дают, например, пятый и седьмой ряды, а спрашивают про последний. Сначала вычисляешь $d$ и $a_{1},$ потом уже отвечаешь.

Разберём каждый сюжет отдельно.

Формула n-го члена

ВАЖНОЕ

Формула n-го члена

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

$a_{1}$ — первый член, $d$ — разность, $n$ — номер. Прибавляем $d$ ровно $(n - 1)$ раз: от первого члена до $n$ -го шагов на один меньше, чем номер.

(есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но надо уметь ей пользоваться)

Это твой инструмент №1: как только в условии просят «сколько в таком-то ряду» или «какое значение через столько-то шагов» — подставляй сюда.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разность может быть отрицательной

Если величина убывает (температура падает, скорость гасят), то $d < 0 .$ В условии «каждую минуту температура уменьшалась на $8^{\circ}$ C» разность $d = - 8,$ а не $+ 8 .$ Тогда и члены прогрессии могут стать отрицательными — это нормально, отрицательный ответ в задании 14 встречается.

Формула суммы

ВАЖНОЕ

Сумма первых n членов

S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}

Полусумма первого и последнего члена, умноженная на количество членов.

(есть в справочных материалах КИМ)

Проблема этой формулы: в ней нужен последний член $a_{n},$ а в «сюжетных» задачах его обычно не дают. Тогда сначала находишь $a_{n}$ по формуле $n$ -го члена — или пользуешься удобной производной формой:

ВАЖНОЕ

Сумма через первый член и разность

S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Это та же формула суммы, в которую вместо $a_{n}$ подставили $a_{1} + (n - 1) d .$ Удобна, когда знаешь $a_{1}$ и $d,$ но последний член ещё не считал.

(в справочном листе КИМ этой записи нет — но она получается из формулы суммы в одну строку, выводить её на экзамене легко)

Восстановление прогрессии по двум членам

Самый «хитрый» подвид: дают два члена с разными номерами (например, $a_{5}$ и $a_{7}$ ), а спрашивают про какой-то третий. Ключ — разность между членами с номерами $k$ и $m$ равна $(m - k)$ разностям:

ВАЖНОЕ

Разность по двум членам

a_{m} - a_{k} = (m - k) d \Rightarrow d = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}

Между $a_{5}$ и $a_{7}$ ровно $7 - 5 = 2$ шага, поэтому $a_{7} - a_{5} = 2 d .$

Найдя $d,$ откатываешься к первому члену через $a_{1} = a_{k} - (k - 1) d$ — и дальше считаешь что просят.

Алгоритм решения

Как решать арифметическую задачу 14

1. Убедись, что прогрессия арифметическая. В условии — «на столько-то больше/меньше каждый раз» (прибавляют одно и то же число), а не «во столько-то раз».
2. Выпиши $a_{1}$ и $d .$ Следи за знаком $d :$ растёт — плюс, убывает — минус.
3. Пойми, что спрашивают. Один член — формула $n$ -го члена; «сколько всего» — формула суммы; дали два члена — сначала найди $d$ и $a_{1} .$
4. Определи номер $n .$ В сюжетных задачах его иногда надо вычислить (число рядов, секунд, шагов).
5. Подставь и посчитай. В ответ — только число, в нужных единицах.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Шагов на один меньше, чем номер

Ошибка: взять $a_{n} = a_{1} + n \cdot d .$ Правильно: множитель разности — $(n - 1) .$ Для 9-го члена прибавляем $d$ восемь раз, а не девять.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не путай «найти член» и «найти сумму»

«Сколько мест в девятом ряду» — это один член $a_{9} .$ «Сколько мест всего» — это сумма $S_{n} .$ Прочитай вопрос дважды: разные формулы дают совсем разные числа.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

В ответ пиши только число, без единиц: 48, а не «48 мест». Дробный ответ — с десятичной запятой: 18,4, не дробью. Отрицательный ответ записывается со знаком минус: -54.

Разбор примеров

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, по одной на каждый сюжет: найти член, восстановить по двум членам, найти сумму.

ПРИМЕР 1

Место в девятом ряду

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

ПРИМЕР 2

Последний ряд по двум известным

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

ПРИМЕР 3

Путь поезда за 8 секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Как забрать этот балл

Время: 3-4 минуты. Задание 14 — гарантированный первичный балл первой части, дарить его нельзя.
Сначала вопрос, потом формула. Спрашивают один член или «сколько всего» — это решает, брать формулу $n$ -го члена или суммы.
Знак разности. Убывает — $d$ отрицательное; забыл минус — получишь неверный (часто положительный вместо отрицательного) ответ.
Прикидка. Сумма 8-12 членов по десяткам мест — это сотни; абсурдный по масштабу ответ сигналит об ошибке.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

Подборка по под-теме: Арифметическая прогрессия
Все задачи типа: Задание 14 — задачи на прогрессии