Задачи на совместную работу — ЕГЭ профиль

Задачи на совместную работу (Задание 11)

Задание 11 проверяет умение переводить текст условия в уравнение. Задачи на совместную работу - один из самых частых сюжетов: трубы наполняют бассейн, рабочие выполняют заказ, насосы качают воду. Приёмы те же, что и в задачах на движение: вместо расстояния - объём работы, вместо скорости - производительность.

1. Суть темы

Любая задача о работе строится вокруг трёх величин:

Работа ( $A$ ) - что делается. Детали, литры, грядки, заказы.
Время ( $t$ ) - как долго делается. Минуты, часы, дни.
Производительность ( $p$ ) - сколько работы делается за единицу времени (аналог скорости).

Главный приём темы: если объём работы не назван в условии конкретным числом, принимай его за единицу. Тогда производительность одного работника равна $\frac{1}{t}$ - доле всей работы, которую он выполняет за одну единицу времени.

Вторая ключевая идея: при совместной работе складываются производительности, а не времена. Если два насоса льют воду в один бак, каждую минуту прибывает сумма их минутных подач.

2. Основные формулы

ВАЖНОЕ

Работа, производительность, время

A = p \cdot t, p = \frac{A}{t}, t = \frac{A}{p}

Если объём работы не задан, то $A = 1$ и $p = \frac{1}{t} .$

ВАЖНОЕ

Совместная работа

Общая производительность нескольких работников равна сумме индивидуальных:

p_{общ} = p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n}

Время, за которое они вместе выполнят всю работу ( $A = 1$ ):

t_{общ} = \frac{1}{p _{1} + p _{2} + \dots + p _{n}}

3. Табличный метод

В текстовой задаче легко запутаться в буквах. Таблица - главный рабочий инструмент: один столбец для производительности, один для времени, один для работы. По каждому работнику - своя строка.

Пустой шаблон таблицы для задач на работу:

Кто	Производительность $p$	Время $t$	Работа $A$
Первый	$\dots$	$\dots$	$\dots$
Второй	$\dots$	$\dots$	$\dots$
Вместе	$p_{1} + p_{2}$	$\frac{A}{p _{1} + p _{2}}$	$A$

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

1. Введи переменную. За $x$ возьми то, что просят найти, или ту величину, через которую легче выразить остальные (обычно производительность или время одного работника).
2. Заполни столбец работы $A .$ Если дан конкретный объём - впиши число. Если нет - поставь $1$ в каждую строку.
3. Заполни производительности. Либо они известны из условия, либо выражаются через $x .$
4. Вырази время. Используй $t = \frac{A}{p}$ - просто дроби, без новых букв.
5. Составь уравнение. В условии всегда есть связь: один работал на столько-то часов дольше, вместе справились за такое-то время, сделали такую-то часть работы. Переведи эту связь в равенство.
6. Реши и проверь вопрос. Найди корень, отбрось отрицательный, сверься с тем, что именно спрашивают в задаче.

4. Примеры решения

ПРИМЕР 1

Двое вместе, работа абстрактная

Условие:
Первый маляр красит забор за $15$ часов, а второй - за $10$ часов. За сколько часов они покрасят забор, работая вместе?

ПРИМЕР 2

Трое, разные единицы времени

Условие:
Первый насос наполняет бак за $12$ минут, второй - за $15$ минут, третий - за $1$ час. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

ПРИМЕР 3

Найти время одного по совместному

Условие:
Работая вдвоём, Аня и Боря пропалывают огород за $20$ минут. Одна Аня тратит на этот огород $36$ минут. За сколько минут Боря пропалывает огород в одиночку?

ПРИМЕР 4

Ступенчатая работа

Условие:
Первый рабочий выполняет заказ за $10$ часов, а второй - за $15$ часов. Сначала первый трудился один $4$ часа, а затем к нему присоединился второй. За сколько часов они вместе закончили оставшуюся часть заказа?

ПРИМЕР 5

Классика с квадратным уравнением

Условие:
Первая труба пропускает на $5$ литров в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $750$ литров она заполняет на $5$ минут быстрее второй?

5. Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Складывать времена вместо производительностей

Ошибка: «Первый делает за $2$ часа, второй - за $3$ часа, значит вместе за $2 + 3 = 5$ часов» или «вместе за среднее время, $(2 + 3) /2 = 2, 5$ ».
Почему неверно: вдвоём они должны справляться быстрее любого по отдельности, а не медленнее.
Правильно: складываем производительности. $p_{общ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6},$ значит $t = \frac{6}{5} = 1, 2$ часа. И $1, 2 < 2$ - как и должно быть.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть принять всю работу за 1

Ошибка: в задаче про абстрактный заказ или покраску пытаться ввести массу заказа буквой («пусть в заказе $N$ деталей»), а потом мучиться с лишней переменной.
Правильно: если в условии нет литров, деталей или килограммов - сразу ставь $A = 1 .$ Все производительности становятся дробями вида $\frac{1}{t},$ и $N$ никак не участвует в уравнении.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутать, что за

x

Ошибка: найти корень уравнения и сразу записать его в бланк, даже если за $x$ ты брал производительность одного работника, а просили - другого.
Правильно: после нахождения корня прочитай вопрос ещё раз. Типичная ловушка: обозначили за $x$ производительность второй трубы, а спрашивают про первую (разница $3$ или $5$ литров).

6. Что запомнить

Работа $A$ - аналог пути, производительность $p$ - аналог скорости, формула одна: $A = p \cdot t .$
Если объём работы не задан числом - бери $A = 1,$ и $p = \frac{1}{t} .$
При совместной работе складываются производительности, а не времена.
Таблица с тремя столбцами ( $p,$ $t,$ $A$ ) - лучший способ не запутаться.
Ступенчатая работа разбирается через доли выполненной работы; остаток делится на совместную производительность.
Перед записью ответа перечитай вопрос: вдруг $x$ - это не то, что просят.

7. Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия для задания 11

Время: $5 - 10$ минут. Это одно из самых алгоритмичных заданий первой части.
Очерёдность: решай в первом проходе вместе с остальной базой. Большинство сюжетов типовые.
Сокращения: если в дробно-рациональном уравнении и числитель, и правая часть делятся на одно и то же число, сократи до приведения к общему знаменателю. В Примере 5 деление на $5$ сэкономило кучу арифметики.
Проверка: подставь найденный корень обратно в таблицу и проверь условие по фактическим временам. На это уходит $30$ секунд, но ловит арифметические ошибки.
Красивый дискриминант: в задачах с квадратным уравнением дискриминант почти всегда полный квадрат. Если корень не извлекается - скорее всего ошибка в составлении уравнения или знаках.

Проверь себя0 из 4

1.Первый рабочий выполняет заказ за

6

часов, второй — за

12

часов. Какова их совместная производительность (заказа в час)?

2.Что складывается при совместной работе?

3.Вдвоём мастера красят забор за

10

часов, один из них в одиночку — за

15

часов. За сколько часов справится второй в одиночку?

4.Если объём работы в условии не задан числом, что удобнее всего принять за объём работы?