Задание 11: Текстовые задачи — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 11 - это классическая текстовая задача. Она проверяет умение переводить реальные ситуации (движение баржи, работу насосов или смешивание кислот) на строгий язык математики - составлять уравнения и решать их.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ сюжеты текстовых могут быть самыми разными. Стоит делать упор на следующие 4 типа:

1. Движение по воде - лодки, катера, баржи. Главная фишка: наличие скорости течения.
2. Движение по прямой - поезда, автомобили, пешеходы. Часто встречаются задачи с опозданиями или остановками.
3. Совместная работа - трубы, насосы, рабочие. Математически это полное отражение задач на движение.
4. Проценты, сплавы и смеси - сливание растворов, смешивание сплавов или высушивание фруктов.

Основные формулы и аналогии

Задачи на движение и работу решаются по одному и тому же принципу. В них всегда участвуют три величины:

ВАЖНОЕ

Связь скорости, времени и пути

Для движения:

S = v \cdot t ⟹ t = \frac{S}{v}

Где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, $t$ - время.

Для работы:

A = p \cdot t ⟹ t = \frac{A}{p}

Где $A$ - объём работы, $p$ - производительность (скорость работы), $t$ - время.

Если в задаче на работу объём не указан (например, «первый рабочий красит забор...»), то вся работа принимается за $1 .$

Для задач на движение по воде всегда учитывай течение:

Скорость по течению = $v_{собств} + v_{теч}$
Скорость против течения = $v_{собств} - v_{теч}$

Общий алгоритм решения

Почти любую задачу 11 можно решить с помощью табличного метода.

Схематичная таблица 3 столбца (S, v, t) на 2 строки (Объект

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

1. Нарисуй таблицу 3×2. Столбцы - это $S, v, t$ (или $A, p, t$ ). Строки - это объекты (Первый/Второй, По течению/Против течения).
2. Заполни два столбца. Обозначь то, что нужно найти, за $x .$ Заполни столбец скорости (или производительности) и столбец пути (или работы) из условий задачи.
3. Вырази третий столбец. В столбце времени $t$ не пиши новые буквы. Запиши его как дробь: путь разделить на скорость ( $\frac{S}{v}$ ).
4. Составь уравнение. В тексте задачи всегда есть условие для времени: кто-то приехал раньше, кто-то сделал остановку, или они потратили равное время. Свяжи дроби из третьего столбца этим условием.
5. Реши уравнение. Обычно оно сводится к квадратному. Отрицательный корень сразу отбрасывается.
6. Перечитай вопрос. Убедись, что найденный $x$ - это именно то, что просили в ответе.

Примеры решения

Разберём три самые популярные подтемы, двигаясь от классики к более специфичным сюжетам.

ПРИМЕР 1

Движение по воде

Условие:
Моторная лодка прошла против течения реки $60$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $1$ час меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $1$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

ПРИМЕР 2

Совместная работа

Условие:
Первая труба пропускает на $3$ литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $108$ литров она заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая труба?

ПРИМЕР 3

Сплавы и смеси

Условие:
Имеется два сплава. Первый содержит $40%$ меди, второй - $15%$ меди. Масса первого сплава больше массы второго на $10$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $30%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть про вопрос задачи

Ошибка: Найти $x$ через уравнение и сразу записать его в бланк ответа. В Примере 2 мы нашли $x = 12,$ но ответом было $9 .$
Правильно: Как только нашёл корень уравнения, остановись. Прочитай вопрос задачи ещё раз. Убедись, что $x$ - это именно та величина, о которой спрашивают.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутать знаки течения

Ошибка: В задаче на движение по воде вычитать скорость лодки из скорости течения или вообще забывать её добавлять.
Правильно: По течению река "помогает" (складываем). Против течения - "мешает" (вычитаем течение из собственной скорости). Скорость течения всегда меньше скорости моторной лодки, иначе она бы никуда не уплыла.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 11

Время выполнения: 5-10 минут.
Очерёдность: Решай вместе с первой частью. Задача стандартная и алгоритмичная.
Проверка корней: В $99%$ случаев квадратное уравнение в этом задании имеет "красивый" дискриминант (полный квадрат). Если корень не извлекается - ты где-то ошибся при составлении уравнения или раскрытии скобок. Пересчитай сразу.
Упрощение: Если числители в дробно-рациональном уравнении делятся на одно и то же число (как в Примере 2), обязательно сократи их до того, как приводить к общему знаменателю. Это спасёт от гигантских дискриминантов.

Проверь себя0 из 4

1.Скорость лодки по течению реки равна...

2.В задаче на работу объём работы не указан. За что принимают всю работу?

3.Лодка проходит

60

км против течения со скоростью

x - 1

км/ч. Сколько времени это занимает?

4.Ты решил уравнение и нашёл

x .

Что нужно сделать перед записью ответа?