Задание 11: Графики функций | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 11 проверяет умение работать с функциями и их графиками. В условии даётся чертёж одной или двух функций на координатной плоскости. Твоя задача - восстановить математическую формулу функции по её графику (найти неизвестные коэффициенты), а затем вычислить значение функции в конкретной точке или найти координаты точки пересечения двух графиков.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ можно встретить графики всех основных элементарных функций:

1. Показательные и логарифмические функции - графики вида $y = a^{x}$ и $y = lo g_{a} x$ (часто со сдвигами).
2. Гиперболы - графики дробно-рациональных функций вида $y = \frac{k}{x} .$
3. Параболы - квадратичные функции.
4. Линейные функции - прямые $y = k x + b .$
5. Функции с корнем - графики вида $y = a x .$
6. Тригонометрия и прочее - синусоиды, косинусоиды.

Как «читать» графики

Для решения необходимо помнить, как параметры в формуле влияют на внешний вид графика.

Сдвиг параболы

Уравнение параболы удобнее записывать не в стандартном виде $y = a x^{2} + b x + c,$ а через координаты её вершины $(x_{0}; y_{0}) :$

y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

Коэффициент $a$ отвечает за ширину и направление ветвей. Его легко найти, отступив от вершины на $1$ вправо: изменение по вертикали и будет равно $a .$

$График параболы$

Асимптоты гиперболы

Если гипербола сдвинута, её уравнение имеет вид:

y = \frac{k}{x - x _{0}} + y_{0}

Здесь $x = x_{0}$ - вертикальная асимптота, а $y = y_{0}$ - горизонтальная асимптота. Пунктирные линии на рисунке в КИМе почти всегда подсказывают эти значения.

$График гиперболы со сдвигом$

Показательная функция

График функции $y = a^{x}$ всегда проходит через точку $(0; 1),$ потому что $a^{0} = 1$ при любом допустимом $a .$

Если $a > 1$ - график возрастает (растёт слева направо).
Если $0 < a < 1$ - график убывает (падает слева направо).

Чтобы найти основание $a,$ подставь координаты любой выделенной точки. Проще всего использовать точку с абсциссой $x = 1 :$ тогда $y = a^{1} = a,$ и основание читается прямо с графика.

$Показательная функция$

Базовая точка логарифма

График функции $y = lo g_{a} (x + b) + c$ имеет вертикальную асимптоту $x = - b .$
Базовая точка любого логарифма без сдвигов - $(1; 0) .$ Если логарифм сдвинут, эта точка смещается вместе с асимптотой.

$Логарифмическая функция$

Общий алгоритм решения

Как решать задание 11

1. Определи вид функции. Посмотри на условие и чертёж. Пойми, какие параметры (буквы) нужно найти.
2. Найди выделенные узловые точки. Авторы задач всегда жирными точками отмечают узлы квадратной решётки, через которые точно проходит график. Используй именно их.
3. Составь систему уравнений. Подставь координаты $(x; y)$ каждой выделенной точки в уравнение функции. Если неизвестных параметров два, нужны две точки.
4. Вычисли параметры. Реши полученную систему и запиши итоговую формулу функции без неизвестных букв.
5. Сделай проверку. Возьми третью (контрольную) точку с графика и убедись, что твоя формула даёт верный результат.
6. Ответь на вопрос задачи. Найди значение функции в заданной точке $f (x_{0})$ или приравняй уравнения двух функций, чтобы найти точку их пересечения.

Примеры решения

Разберём задачи на самые популярные семейства функций.

Пример 1. Пересечение гиперболы и прямой

На рисунке изображены графики функций $f (x) = \frac{k}{x}$ и $g (x) = a x + b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B .$ Найдите ординату точки $B .$

$Гипербола и прямая$

Показать решение

$Гипербола и прямая$

Шаг 1. Найдём уравнение гиперболы $f (x) .$
На графике гиперболы жирной точкой отмечена координата $(2; 3) .$ Подставим её в уравнение $y = \frac{k}{x} :$

3 = \frac{k}{2} ⟹ k = 6

Значит, формула гиперболы: $f (x) = \frac{6}{x} .$

Шаг 2. Найдём уравнение прямой $g (x) .$
Прямая проходит через точки $(1; 1)$ и $(2; 3) .$ Подставим их координаты в $y = a x + b :$

{1 = a \cdot 1 + b 3 = a \cdot 2 + b

Вычтем из второго уравнения первое:

3 - 1 = 2 a - a + b - b ⟹ 2 = a

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $1 = 2 + b ⟹ b = - 1 .$
Значит, формула прямой: $g (x) = 2 x - 1 .$

Шаг 3. Найдём точку пересечения $B .$
В точках пересечения значения функций равны: $f (x) = g (x) .$

\frac{6}{x} = 2 x - 1

Домножим на $x$ (при $x \neq = 0$ ) и перенесём всё в одну сторону:

2 x^{2} - x - 6 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6) = 1 + 48 = 49

x_{1, 2} = \frac{1 \pm 7}{4}

$x_{1} = 2$ - это абсцисса точки $A,$ которую мы и так видели на графике.
$x_{2} = \frac{- 6}{4} = - 1, 5$ - это абсцисса точки $B .$

В задаче просят найти ординату точки $B$ (значение $y$ ). Подставим $x = - 1, 5$ в любое из уравнений, например в $g (x) :$

y_{B} = 2 \cdot (- 1, 5) - 1 = - 3 - 1 = - 4

Для верности проверим через гиперболу: $f (- 1, 5) = \frac{6}{- 1 , 5} = - 4 .$ Совпадает!

Ответ: -4

Пример 2. Логарифмическая функция со сдвигом

На рисунке изображён график функции $f (x) = lo g_{a} (x + b) .$ Найдите значение $f (14) .$

$Логарифмическая функция со сдвигом$

Показать решение

$Логарифмическая функция со сдвигом$

Шаг 1. Найдём сдвиг $b .$
Область определения логарифма: $x + b > 0 ⟹ x > - b .$
Вертикальная асимптота графика - это прямая $x = - b .$ По рисунку видно, что график приближается к вертикальной прямой $x = - 2 .$ Значит, $- b = - 2 ⟹ b = 2 .$
Функция принимает вид: $f (x) = lo g_{a} (x + 2) .$

Шаг 2. Найдём основание логарифма $a .$
Возьмём с графика жирную точку с координатами $(2; 2)$ и подставим в наше уравнение:

2 = lo g_{a} (2 + 2)

lo g_{a} 4 = 2

По определению логарифма: $a^{2} = 4 .$ Так как основание логарифма всегда положительно ( $a > 0$ ), получаем $a = 2 .$
Итоговая формула функции: $f (x) = lo g_{2} (x + 2) .$

(Точка $(- 1; 0)$ на графике тоже есть, но она не поможет найти $a,$ так как $lo g_{a} (- 1 + 2) = lo g_{a} 1 = 0$ верно при любом допустимом $a$ ).

Шаг 3. Вычислим искомое значение.
Нам нужно найти $f (14) .$ Подставляем $x = 14$ в формулу:

f (14) = lo g_{2} (14 + 2) = lo g_{2} 16

В какую степень нужно возвести $2,$ чтобы получить $16 ?$ В четвёртую.

f (14) = 4

Ответ: 4

Частые ошибки

Путаница с координатами

Ошибка: Взять точку пересечения графика с осью $Y$ и записать её координаты как $(y; 0)$ вместо $(0; y) .$ Из-за этого получается полностью неверная система уравнений.
Правильно: Абсцисса (ось $X$ ) всегда пишется на первом месте, ордината (ось $Y$ ) - на втором. Точка на оси $Y$ имеет координату $x = 0 .$

Потеря «известного» корня

Ошибка: При поиске точки пересечения графиков получить квадратное уравнение, ошибиться в дискриминанте и получить кривые корни, забыв, что один корень уже известен по графику.
Правильно: Если графики пересекаются в двух точках и координаты одной из них хорошо видны на рисунке (например, точка $A (2; 3)$ ), то число $x = 2$ обязано быть одним из корней твоего уравнения $f (x) = g (x) .$ Используй этот факт для самопроверки!

Стратегия на экзамене

Стратегия

Ориентировочное время: 5–10 минут.
Когда решать: В первую половину экзамена, вместе с остальной тестовой частью. Задание алгоритмичное, но требует аккуратного счёта.
Опорные точки: Никогда не бери точки графика "на глаз", если они не выделены жирными точками (узлами). График может проходить на миллиметр выше или ниже перекрестья клеток. Используй только специально отмеченные точки!
Проверка: Всегда проверяй найденную формулу функции. Если ты вычислил коэффициенты по двум точкам, найди на графике третью выделенную точку и подставь её в формулу. Сошлось? Значит, уравнение составлено идеально.