Задачи на проценты, сплавы и смеси — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задачи на проценты, сплавы и смеси встречаются в задании 11 редко, но регулярно. Сюжеты бывают разные: сливают растворы кислоты, сплавляют куски металла, сушат грибы или виноград. Математика во всех случаях одна и та же - баланс массы чистого вещества.

Когда ты сливаешь два раствора или сплавляешь два куска сплава, общая масса смеси равна сумме масс компонентов. То же касается и чистого вещества внутри: сколько чистой меди (или чистой кислоты, или сухого остатка) было в каждом куске до смешивания, столько же суммарно окажется и после. Вода испаряется - сухое вещество остаётся. Это главный инвариант темы.

Основные формулы

Первое, от чего нужно избавиться, - путаница между массой всего раствора и массой растворённого в нём вещества. Эти два числа обязаны жить в разных колонках таблицы.

ВАЖНОЕ

Масса чистого вещества

Если концентрация равна $p %,$ то масса чистого вещества в растворе (сплаве) равна:

m_{вещ} = m_{раствора} \cdot \frac{p}{100}

ВАЖНОЕ

Баланс при смешивании

При сливании двух растворов складываются и общие массы, и массы чистого вещества:

M_{1} + M_{2} = M_{смеси}

m_{вещ, 1} + m_{вещ, 2} = m_{вещ, смеси}

Итоговая концентрация при этом находится строго между исходными - выше минимальной и ниже максимальной.

ВАЖНОЕ

Правило креста (метод рычага)

Если смешать раствор с концентрацией $a %$ массой $m_{1}$ и раствор с концентрацией $b %$ массой $m_{2}$ и получить концентрацию $c %$ (где $a < c < b$ ), то массы относятся как:

\frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{b - c}{c - a}

То есть массы обратно пропорциональны расстояниям от концентраций компонентов до итоговой.

Табличный метод

Для задач со смесями самый надёжный приём - таблица из четырёх колонок. Она не даёт забыть ни про массу раствора, ни про концентрацию, ни про массу чистого вещества. Схема такая:

Компонент	Масса раствора (кг)	Концентрация	Масса чистого вещества (кг)
Первый	$m_{1}$	$p_{1} /100$	$m_{1} \cdot p_{1} /100$
Второй	$m_{2}$	$p_{2} /100$	$m_{2} \cdot p_{2} /100$
Смесь	$m_{1} + m_{2}$	$p_{3} /100$	$(m_{1} + m_{2}) \cdot p_{3} /100$

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

1. Начерти таблицу из четырёх колонок: компонент, масса раствора, концентрация, масса чистого вещества.
2. Введи переменную. Обозначь неизвестное через $x$ и заполни первую колонку с массами.
3. Впиши концентрации. Переведи проценты в десятичные дроби.
4. Вычисли четвёртую колонку. Перемножь массу на концентрацию для каждой строки.
5. Составь уравнение. Сумма масс чистого вещества в компонентах равна массе чистого вещества в смеси (последняя колонка).
6. Реши уравнение и перечитай вопрос. Часто $x$ нужно ещё подставить, чтобы получить итоговый ответ.

Разбор типичных задач

Ниже три примера от простого до ЕГЭ-уровня. Последний решается методом крестов.

ПРИМЕР 1

Нахождение числа по проценту

На городской олимпиаде призёрами стали $9$ школьников, что составило $7, 5%$ от всех участников. Сколько школьников участвовало в олимпиаде?

ПРИМЕР 2

Испарение воды из раствора

Из $400$ г раствора соли с концентрацией $6%$ выпарили $100$ г воды. Какой стала концентрация соли в оставшемся растворе? Ответ дай в процентах.

ПРИМЕР 3

Сплавление двух сплавов методом крестов

Имеется два сплава серебра. Первый содержит $72%$ серебра, второй - $60%$ серебра. Их сплавили вместе и получили $48$ кг сплава с концентрацией $65%$ серебра. Сколько килограммов первого сплава взяли?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение процентов

Ошибка: считать, что при сливании $20%$ -го и $30%$ -го растворов получится $50%$ -й раствор.

Правильно: проценты складывать нельзя. Работай только через массу чистого вещества в килограммах (или граммах). Складываются абсолютные величины: общая масса раствора и масса чистого вещества. Итоговая концентрация всегда лежит между исходными.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть перевести проценты в дробь

Ошибка: записать в уравнение $30 \cdot (x + 20)$ вместо $0, 3 \cdot (x + 20) .$

Правильно: концентрация $p %$ в формуле массы вещества участвует как число $p /100 .$ Если ты сознательно умножаешь уравнение на $100,$ чтобы избавиться от запятых, - делай это симметрично слева и справа.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в методе крестов

Ошибка: приписать разность $b - c$ компоненту с концентрацией $b$ (а не $a$ ).

Правильно: масса компонента пропорциональна разности между концентрацией другого компонента и итоговой. На диаграмме креста масса каждого компонента записывается по диагонали напротив его концентрации. Проверочный тест: если массы равны, то итоговая концентрация - среднее арифметическое $(a + b) /2 .$

Что запомнить

1. Всегда рисуй таблицу из четырёх колонок. Она устраняет $90%$ ошибок по невнимательности.
2. Главное уравнение строится по закону сохранения чистого вещества: масса вещества 1 + масса вещества 2 = масса вещества в смеси.
3. При сливании растворов равной массы итоговая концентрация равна среднему арифметическому исходных концентраций.
4. Метод крестов - быстрый способ найти пропорцию масс, если концентрации всех трёх растворов известны.
5. В задачах на выпаривание масса чистого вещества сохраняется, меняется только масса воды.
6. Перечитай вопрос перед записью ответа: часто $x$ - не конечная величина, а промежуточный результат.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-10 минут.
Приоритет: решать в первой волне вместе с остальными задачами 1-13. Алгоритм жёсткий, красивые числа почти гарантированы.
Самопроверка: итоговая концентрация обязана лежать строго между исходными. Если смешиваешь $15%$ и $40%,$ а получил $12%$ или $45%,$ - сразу ищи ошибку.
Быстрая проверка через крест: когда нашёл массы, прикинь, ближе ли итоговая концентрация к большей или меньшей. Более массивная часть "тянет" концентрацию на свою сторону.
Красивые числа: ответ в части 1 всегда целый или конечная десятичная дробь. Если при решении вылезает бесконечный период или громоздкий корень - ты ошибся в уравнении.

Проверь себя0 из 4

1.Смешали

200

10%

-го и

200

30%

-го растворов кислоты. Какова концентрация смеси?

2.Из

500

г раствора соли с концентрацией

4%

выпарили

100

г воды. Какая величина не изменилась?

3.Смешали растворы с концентрациями

20%

50%

и получили

30%

-й раствор. Как относятся массы первого и второго растворов

m_{1} : m_{2} ?

4.Итоговая концентрация при сливании двух растворов всегда...